2015-05-13
9727
Для простоты изложения ограничимся функцией 
от двух переменных, подчиненных условию 
. Предполагаем, что функции 
обладают непрерывными производными до второго порядка включительно и обозначаем, например, 
, 
, 
и т.п. Для нахождения точки, в которой возможен условный экстремум, используем метод множителей Лагранжа, описанный выше. Строим функцию Лагранжа
.
(отметим, что иногда пишут 
. Никакой разницы это не даст, т.к. уравнение 
равносильно уравнению 
).
Точки, в которых может быть условный экстремум, удовлетворяют системе
Для того, чтобы выяснить, есть ли экстремум в найденной точке 
(или одной из найденных точек, если система имеет не одно решение), следует использовать второй дифференциал, как и в случае обычного экстремума. Однако в рассматриваемом случае , откуда дифференцируя, находим:
,
или, если, например 
,то
.
Кроме того, при условии 
рассматриваемая функция 
просто совпадает с 
и поэтому экстремумы этих функций совпадают. Поэтому далее исследуем на экстремум функцию . Найдём её второй дифференциал.
Итак, знак 
(при условии что переменные 
связаны уравнением , откуда 
) совпадает со знаком величины
(8)
Для удобства запоминания рассмотрим определитель (окаймленный гессиан) и его разложение по первой строке
(9)
Сравнивая (8) и (9) видим, что в рассматриваемой задаче знак второго дифференциала противоположен знаку окаймленного гессиана.
Поэтому если 
, то 
и в точке есть условный максимум, если 
, то 
и в точке есть условный минимум.
Замечание. Вновь обратим внимание на то, что если уравнение связи можно решить, выразив, например 
, то вопрос об условном экстремуме сведется к исследованию на экстремум обычных функций от одной переменной.
Замечание. Вопрос о том, нет ли среди уравнений связи лишних, решается с помощью теории независимости функций (см. приложение).
