Необходимые условия. Метод множителей Лагранжа

Глава 13. Условный экстремум

Условный экстремум

Определение условного экстремума

Пусть дана функция и предположим, что переменные удовлетворяют уравнениям связи

.(1).

Определение. В точке , удовлетворяющей уравнениям (1) функция имеет условный минимум (максимум) если неравенство () выполняется в некоторой окрестности точки для всех точек этой окрестности, удовлетворяющих условиям (1).

Необходимые условия. Метод множителей Лагранжа

Для упрощения выкладок рассмотрим случай функции и двух уравнений связи , . Предположим, что функции обладают непрерывными частными производными, причем ранг матрицы равен 2. Для определенности, пусть . Тогда по теореме о системе неявных уравнений уравнения связи можно решить, выразив переменные в виде функций от : , , где – непрерывно дифференцируемые функции и понятие условного экстремума функции совпадает с экстремумом функции . Стало быть, дифференциал этой функции – тождественно равная нулю функция от , т.е. должно выполняться условие , равносильное тому, что

, , (2).

иными словами,

, .

Для нахождения , , , воспользуемся уравнениями связи

(3).

Из этой системы можно линейно выразить и через и , что и дает искомое выражение для , , , . Предоставим это полезное упражнение читателю.

Есть, однако, замечательный прием, называемый методом неопределенных множителей Лагранжа, который позволяет обойтись без нахождения решения этой системы. Изложим этот метод.

По инвариантности формы дифференциала, условие (или условие (2))равносильно условию , т.е.

(4).

Умножим уравнения (3) на некоторые числа и соответственно и сложим с (4):

(5).

Выберем и так, чтобы коэффициенты при и одновременно обращались в 0. Это можно сделать потому, что определитель системы

(6)

не равен 0.

Тогда (5) примет вид , где – дифференциалы независимых переменных. Поэтому и

(7).

Таким образом, необходимые условия экстремума вспомогательной функции совпадают с уравнениями (6) и (7) и, тем самым, с необходимыми условиями условного экстремума.