Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) называется число:
, если указанный интеграл абсолютно сходится, в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует.
Если н.с.в. определена на интервале (a;b), то математическое ожидание определяется по формуле:
Все свойства математического ожидания дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) называется число:
.
Если н.с.в. определена на интервале (a;b), то дисперсия определяется по формуле:
.
Все свойства дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.
Для непрерывных случайных величин теорема может быть записана в виде:
Пример 3. Н.с.в. X задана функцией распределения на интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию н.с.в. X.
Найдем плотность распределения: .
Математическое ожидание: .
Математическое ожидание квадрата с.в.: .
Дисперсия:
Определение. Мода – это значение абсциссы xmod, при котором кривая плотности распределения имеет максимум. Мода указывает положение высоко вероятной области значений с.в.
Определение. Медиана – это значение абсциссы xmed, при котором фигура под кривой плотности распределения делится на две равновеликие части, площади которых равны по 0.5 каждая, то есть F(xmed)=0.5.
Определение. Квантиль – это значение абсциссы xq, которое является решением уравнения F(xq)=q.
Квантиль xq называется q-ой или q·100-процентной квантилью функции распределения (или плотности распределения, или случайной величины). В частности медиана является 50-процентной квантилью.
Наиболее употребительные квантили:
квартиль - 25 - процентная квантиль, дециль - 10 - процентная квантиль.