Числовые характеристики дискретных случайных величин. Закон распределения полностью характеризует случайную величину, однако на практике он часто бывает неизвестен

Закон распределения полностью характеризует случайную величину, однако на практике он часто бывает неизвестен. В этом случае используют числа, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называются числовыми характеристика случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина.

Вероятностный смысл математического ожидания: для большого числа испытаний математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому значению случайной величины.

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, закон распределения которой приведен ниже:

X
P	0.25	0.5	0.25

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины C равно C:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них, не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина.

Пример 2. Пусть ежедневные расходы на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. руб., а число продаж X автомашин в течение дня подчиняется закону распределения:

X
P	0.25	0.2	0.1	0.1	0.1	0.1	0.5	0.5	0.025	0.025

Найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене автомашины в 150 тыс. руб.

Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле: П=150X-120.

M(П)=М(150X-120)=M(150X)-M(120)=150M(X)-120=150×2.675-120=281.25

Математическое ожидание стандартных распределений:

1. биномиального распределения: ;

2. геометрического распределения: ;

3. распределения Пуассона: .

Определение. Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X-M(X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: .

Определение. Математическое ожидание квадрата отклонения называется дисперсией (или рассеянием):

Формула дисперсии в развернутом виде:

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

Пример 3. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X
p	0.1	0.6	0.3

1 способ:

2 способ:

Свойства дисперсии:

1. дисперсия постоянной величины C равна нулю: ;

2. постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: ;

3. дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: ;

4. дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Дисперсия стандартных распределений:

1. биномиального распределения: ;

2. геометрического распределения: ;

3. распределения Пуассона: .

Определение. Средним квадратическим отклонением (СКО) случайной величины X называется квадратный корень из ее дисперсии

Теорема. СКО суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин:

Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.

Пример 4. Банк выдал кредиты n разным заемщикам в размере S ден. ед. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна p.

Решение: Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем n независимых испытаний. Вероятность утери кредита банка в каждом испытании равна q=1-p. Пусть X – число заемщиков, возвративших кредит с ссудным процентом. Прибыль банка определяется формулой: .