2015-05-13
1500
Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
1) Дифференциальное уравнение вида 
(не содержащее искомой функции у).
Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию 
, т.е. положить 
, следовательно 
. Получим дифференциальное уравнение I-го порядка 
Схема решений:
Получающееся при этом уравнение I-го порядка решаем одним из методов, рассмотренных ранее.
Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения 
,
удовлетворяющего начальным условиям 
.
Решение. Произведем понижение порядка дифференциального уравнения. Положим 
, тогда 
. Подставив эти значения у/ и у// в данное уравнение, получим уравнение:
,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Производим интегрирование 
. Отсюда 
. Но 
, поэтому:
. (2)
Используем начальные условия и найдем постоянную интегрирования С1: т.к. 
при 
, то получаем 
, т.е. С1=3. Тогда:
. (3)
Условие у=1 при х=0 подставим в (3): 1=С2. Таким образом, из начальных условий вытекает, что С1=3, С2=1 и искомое частное решение имеет вид:
.
Замечание. Дифференциальное уравнение вида
приводится к дифференциальному уравнению 
-го порядка с помощью замены 
. Например, пусть дано уравнение 
. Положив 
, понизим порядок на 2. Получим 
- уравнение с разделяющимися переменными (уравнение I-го порядка).
2) Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид:
,
то порядок можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию 
. Тогда:
.
Схема решения:
При этом получается уравнение I-го порядка относительно неизвестной функции 
и независимой переменной у.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение. В уравнение не входит х. Полагаем 
. Тогда
.
После подстановки у/ и у// в исходное уравнение оно принимает вид
или 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
, 
, 
, 
,
, 
.
Следовательно, 
. Тогда
, 
, 
,
, 
, 
.
(При решении уравнения делили на 
. Если 
, т.е. 
, тогда 
- это одно из решений данного уравнения, не представляющее интереса).
