II. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим два типа дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка.

1) Дифференциальное уравнение вида (не содержащее искомой функции у).

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию , т.е. положить , следовательно . Получим дифференциальное уравнение I-го порядка

Схема решений:

Получающееся при этом уравнение I-го порядка решаем одним из методов, рассмотренных ранее.

Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравнения ,

удовлетворяющего начальным условиям .

Решение. Произведем понижение порядка дифференциального уравнения. Положим , тогда . Подставив эти значения у^/ и у^// в данное уравнение, получим уравнение:

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Производим интегрирование . Отсюда . Но , поэтому:

. (2)

Используем начальные условия и найдем постоянную интегрирования С₁: т.к. при , то получаем , т.е. С₁=3. Тогда:

. (3)

Условие у=1 при х=0 подставим в (3): 1=С₂. Таким образом, из начальных условий вытекает, что С₁=3, С₂=1 и искомое частное решение имеет вид:

.

Замечание. Дифференциальное уравнение вида

приводится к дифференциальному уравнению -го порядка с помощью замены . Например, пусть дано уравнение . Положив , понизим порядок на 2. Получим - уравнение с разделяющимися переменными (уравнение I-го порядка).

2) Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид:

,

то порядок можно понизить, взяв за новую независимую переменную у, а за неизвестную функцию . Тогда:

.

Схема решения:

При этом получается уравнение I-го порядка относительно неизвестной функции и независимой переменной у.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В уравнение не входит х. Полагаем . Тогда

.

После подстановки у^/ и у^// в исходное уравнение оно принимает вид

или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

, , , ,

, .

Следовательно, . Тогда

, , ,

, , .

(При решении уравнения делили на . Если , т.е. , тогда - это одно из решений данного уравнения, не представляющее интереса).