II. Дифференциальные уравнения высших порядков

Раздел 5

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ)

I-го порядка.

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определения.
Литература: , гл. XIII, §1-2, упр. 1,2,4.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Литература: , гл. XIII, §4, упр. 9, 20-26, 35-37.

1.3. Однородные ДУ 1-го порядка и приводящиеся к ним.

Литература: , гл. XIII, §5, упр. 40-47, 55, 56, §6, упр. 48-50.

1.4. Линейные ДУ 1-го порядка и уравнение Бернулли.
Литература: , гл. XIII, §7, упр. 58-63, §8, упр. 66-69.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах.

Литература: , гл. XIII, §9, 10, упр. 72-76, 80.

1.6. Огибающая семейства кривых. Особые решения ДУ 1-го порядка.

Литература: , гл. XIII, §11, 12.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения:
а) дифференциального уравнения 1-го порядка;
б) общего решения ДУ 1-го порядка;
в) общего интеграла ДУ 1-го порядка;
г) частного решения (интеграла) ДУ 1-го порядка.

2. Сформулируйте задачу Коши для ДУ 1-го порядка и укажите ее геометрический смысл.

3. Дайте определения:
а) интегральной кривой ДУ 1-го порядка;
б) семейства интегральных кривых ДУ, дайте геометрическое толкование ДУ 1-го порядка.

4. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения ДУ 1-го порядка. Что называется особым решением ДУ 1-го порядка?

5. Дайте определения ДУ:
а) с разделенными переменными;
б) с разделяющимися переменными.

Изложите метод нахождения общего решения ДУ с разделяющимися переменными. Найдите общее решение уравнения:
.

6. Дайте определение однородного ДУ 1-го порядка. С помощью какой замены переменной однородное ДУ приводится к уравнению с разделяющимися переменными? Являются ли однородными уравнения:

а) ; б) ?

С помощью какой подстановки уравнение вида при приводится к однородному?

7. Дайте определение линейного ДУ 1-го порядка: а) однородного; б) неоднородного. Изложите: а) метод Бернулли решения ЛНДУ 1-го порядка; б) метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Является ли уравнение линейным относительно функции ?

8. Дайте определение уравнения Бернулли. Покажите, что с помощью подстановки (где z – новая функция) уравнение Бернулли преобразуется к линейному. Какие методы решения уравнения Бернулли вы знаете?

II. Дифференциальные уравнения высших порядков.

2.1. Общие понятия.

Литература: , гл. XIII, §16, упр. 117.

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Литература: , гл. XIII, §17, упр. 118, 119, §18, упр. 120-124.

2.3. Линейные ДУ 2-го порядка.

Литература: , гл. XIII, §20,21, упр. 129-132, 140-146, §23-25, упр. 149-158, 164-167.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения: а) ДУ 2-го порядка; б) его общего и частного решений. Сформулируйте задачу Коши для ДУ 2-го порядка, укажите его геометрический смысл.

2. Изложите методы решений ДУ вида:
а) б) в)

3. Дайте определение: а) линейного ДУ n-го порядка (однородного и неоднородного (ЛОДУ и ЛНДУ)); б) линейно зависимых и линейно независимых функций; в) определителя Вронского; г) фундаментальной системы решений.
Сформулируйте условия линейной независимости решений ЛОДУ. Исследуйте на линейную независимость следующие системы функций: 1) х; lnx; 2) ; ; 3) х; х².
Сформулируйте необходимое условие линейной зависимости системы функций.

4. Сформулируйте терему о структуре общего решения: а) ЛОДУ; б) ЛНДУ.

Докажите, что сумма частных решений уравнений и является решением уравнения .

5. Изложите метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

6. Выведите формулу для общего решения линейного однородного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения.

7. Изложите правило нахождения частного решения линейного ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида: а) , где - многочлен степени ; б) .