Задание для самостоятельной работы. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка

Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Численно и аналитически найти:

a. закон движения материальной точки на пружине х(t),

b. закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC - цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.

Варианты заданий

Таблица режимов:

№	Режим
	Свободные незатухающие колебания
	Затухающее колебательное движение
	Апериодическое движение
	Предельное апериодическое движение
	Вынужденное колебание без сопротивления
	Вынужденное колебание без сопротивления, явление резонанса
	Вынужденное колебание с линейным сопротивлением
	Вынужденное колебание с линейным сопротивлением, явление резонанса

Варианты заданий и номера режимов:

1. движение точк;

2. RLC – цепь.

Вар.	Задание	Вар.	Задание
	а) 1,2,5		б)1,2,6
	а) 1,3,6		а) 1,4,7
	б)1,3,7		б)1,2,7
	а) 1,4,8		а) 1,2,5
	б)1,2,8		б)1,4,6
	а) 1,4,7		а) 1,3,5
	б)1,3,6		б)1,3,8
	а) 1,4,5		б)1,4,5
	б)1,3,8		а) 1,3,6
	а) 1,3,5		б)1,4,7
	б)1,4,6		а) 1,2,8
	а) 1,2,7		б)1,4,8
	б)1,2,5		а) 1,3,6
	а) 1,2,6		б)1,3,7
	б)1,4,7		а) 1,2,5

Рассмотрим более подробно порядок составления дифференциальных уравнений и приведения их к машинному виду для описания движения тела на пружине и RLC-цепи.

a. Движение материальной точки на пружине.

При выполнении этого задания необходимо рассмотреть движение материальной точки массой m на пружине (рис. 14.1) жесткостью c в среде с линейным сопротивлением под действием синусоидальной вынуждающей силы по горизонтальной поверхности.

Рис. 14.1 - движение материальной точки на пружине

Уравнение движения (второй закон Ньютона) для материальной точки с учетом действия сил линейного сопротивления (-βx'), упругости пружины (-cx) и синусоидальной силы F₀∙sin(pt) может быть записано следующим образом:

где m=1+int(n/2) - масса материальной точки, β - коэффициент сопротивления, с=2+int(n/3) - жесткость пружины, х - координата (х=0 в положении равновесия точки), t - время, p - частота вынужденных колебаний, F₀=n - амплитуда силы, n - номер варианта, int - целая часть числа. Параметры β, p и начальные условия выбираются самостоятельно с учетом рассматриваемого режима.

b. Колебательный контур (RLC цепь) (рис. 14.2):

Рис. 14.2. - колебательный контур (RLC цепь)

Уравнение падения напряжения в цепи переменного тока имеет вид

где L=1+int(n/2) - индуктивность, R - сопротивление, C=2+int(n/3) - емкость конденсатора, q - заряд, U₀=n-амплитуда напряжения, p - частота, - сила тока. Параметры R, p и начальные условия выбираются самостоятельно с учетом рассматриваемого режима.