Теорема о разложении вектора по базису

Всякий элемент n-мерного линейного пространства можно представить, притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть ē₁, ē₂, …, ē_n - базис линейного пространства L. Рассмотрим любой вектор ā L. Тогда система векторов ē₁,…, ē_n, ā - линейно зависимая, то есть λ₁ē₁+…+ λ_nē_n+ λ_n+1 ā=0, причем λ_n+1≠0.

Если λ_n+1 =0, тогда и какое-то из λ_i≠0

Это означает: ē₁, ē₂, …, ē_n - линейно зависимы, что противоречит условию: ē₁, ē₂, …, ē_n - базис, то есть линейно независимая система векторов.

Итак, λ_n+1≠0, тогда , то есть

, где .

Таким образом, показали, что любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов базиса.

Покажем, что такое разложение единственно. Предположим, что наряду с полученным разложением ā по базису , существует другое .

Вычитая, находим .

Так как векторы ē₁, ē₂, …, ē_n - линейно независимы, то последнее равенство имеет место только тогда, когда .

Таким образом, μ_i=γ_i для , а следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Всякий базис линейного пространства, векторы которого берутся в определенной последовательности, называют системой координат, а числа - коэффициенты в разложении любого вектора ā по базису - называют координатами вектора ā.

ā=x₁ ē₁+…+x_nē_n,

где х₁,…., х_n - координаты вектора ā.

Последнее выражение называют формулой разложения вектора по базису.