Пусть ā, , - элементы некоторого множества ā, , L и λ, μ - действительные числа, λ, μ R..
Множество L называется линейным или векторным пространством, если определены две операции:
10. Сложение. Каждой паре элементов этого множества поставлен в соответствие элемент того же множества, называемый их суммой
ā + =
2°. Умножение на число. Любому действительному числу λ и элементу ā L ставится в соответствие элемент того же множества λ ā L и выполняются следующие свойства:
1. ā+ = + ā;
2. ā+( + )=(ā+ )+ ;
3. существует нулевой элемент , такой, что ā + = ā;
4. существует противоположный элемент - такой, что ā +(- ā)= .
Если λ, μ - действительные числа, то:
5. λ(μ, ā)= λ μ ā;
6. 1 ā= ā;
7. λ(ā + )= λ ā+λ ;
8. (λ+μ) ā=λ ā +μā
Элементы линейного пространства ā, , ... называют векторами.
Упражнение. Покажите самостоятельно, что данные множества образуют линейные пространства:
1) Множество геометрических векторов на плоскости;
|
|
2) Множество геометрических векторов в трехмерном пространстве;
3) Множество многочленов некоторой степени;
4) Множество матриц одинаковой размерности.