Примеры решения задач. Пример 1. Написать уравнение гармонического колебания материальной точки с амплитудой А = 0,1 м, периодом Т = 2 с и начальной фазой φ0 = 0

Пример 1. Написать уравнение гармонического колебания материальной точки с амплитудой А = 0,1 м, периодом Т = 2 с и начальной фазой φ₀ = 0. Найти амплитудные значения скорости υ_max и ускорения а_max; скорость υ и ускорение а в момент времени t = 1/6 c. Построить графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени.

Дано: А = 0,1 м; Т = 2с; φ_o = 0; t = 1/6 c. Найти: υ_max; а_max; υ; а.

Решение: Запишем уравнение гармонического колебания в виде:

. (1)

Скорость материальной точки равна производной от смещения по времени:

. (2)

Отсюда максимальная скорость

. (3)

Ускорение определяется как производная от скорости точки по времени:

. (4)

Амплитудное значение ускорения

. (5)

Подставляя числовые значения в (1), (3) и (5), получим: , , .

Проведя вычисления по формулам (2) и (4), найдём значения скорости и ускорения в момент времени t = 1/6 с:

, .

Рис. 1

На рис.1 представлены графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени для материальной точки, совершающей гармоническое колебание при начальной фазе j_o = 0.

Ответ: x = 0,1 cоsπ ∙t; u_max = 0,3 м/с; а_max = 1 м/с²; u = –0,16 м/с;
а = – 0,85 м/с².

Прим ер 2. Материальная точка массой m = 10 г колеблется по закону x = 0,05 sin 6t. Найти максимальную силу, действующую на точку, и её полную энергию. Построить графики зависимости потенциальной, кинетической и полной энергий от времени.

Дано: m = 10 г = 10^-2 кг; x = 0,05 sin 6t. Найти: F_max; W.

Решение: Модуль силы, действующей на точку, совершающую гармонические колебания, найдём по второму закону Ньютона

F = ma, (1)

где a = w²x – ускорение материальной точки.

Отсюда

F = mw²x = mAw² sin wt. (2)

Максимальная сила

. (3)

По условию задачи А = 0,05 м, w = 6 рад/c, следовательно

Кинетическая энергия гармонически колеблющейся точки

. (4)

В процессе гармонических колебаний сила изменяется пропорционально смещению, поэтому в каждый момент времени потенциальная энергия материальной точки

, (5)

где k = mw² – постоянный коэффициент для данной системы.

Полная энергия колебаний определяется по формуле

. (6)

Отсюда найдём .

Для построения графиков определим период колебаний материаль ной точки .

Рис. 2. Графики зависимости смещения, потенциальной, кинетической и полной энергий от времени при гармонических ко-лебаниях (j _o = 0)

Из графиков (рис. 2) и формул (3) и (4) следует, что W_п и W_к изменяются в противофазе, с частотой в 2 раза большей, чем частота колебаний материальной точки, а полная энергия W = W_п + W_к с течением времени не изменяется.

Ответ: F_max = 18 мН; W = 0,45 мДж.

Пример 3. Как изменится период колебаний математического маятника при переносе его с Земли на Луну?

Дано: М_з = 5,98·10²⁴кг; М_л = 7,33·10²² кг; R_з = 6,37·10³ км = 6,37 ·10⁶ м; R_л = 1,74·10³ км = 1,74·10⁶м. Найти: Т_з/ Т_л.

Решение: Периоды колебаний математического маятника на Земле и на Луне соответственно равны

и , (1) где g_з, g_л – ускорения свободного падения на поверхности Земли и Луны, l – длина маятника.

Из закона всемирного тяготения находим ускорения g_з и g_л

; , (2)

где G – гравитационная постоянная.

Найдём отношение периодов колебаний маятника

. (3)

Подставив числовые данные в (3), получим: .

Ответ: Период колебаний маятника на Луне больше, чем на Земле,
в 2,5 раза.

Пример 4. Цилиндр высотой h = 10 см, плотность материала которого r = 0,8·10³кг/м³, плавает в воде (рис. 3). Если его погрузить в воду несколько глубже, а затем отпустить, то цилиндр начнёт совершать колебания около положения равновесия. Считая колебания цилиндра гармоническими и незатухающими, определить период Т его колебаний.

Дано: h = 10 см = 0,1 м; r = 0,8·10³кг/м³; r_в = 10³ кг/м³. Найти: Т.

Рис. 3

Решение: В задаче рассматриваются незатухающие колебания, поэтому силами сопротивлений можно пренебречь. На плавающий цилиндр действуют сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила Архимеда , направленная вертикально вверх. Сила тяжести при колебаниях цилиндра постоянна, а архимедова сила меняется, так как зависит от объёма его погружённой части.

Когда цилиндр плавает, колебания не наблюдаются, следовательно, векторная сумма сил равна нулю:

Выбрав вертикальную ось координат и проецируя на неё эти силы, получим

или , (1)

где V = S·x_o – объём погружённой части цилиндра в положении равновесия; S – площадь поперечного сечения; x_o – глубина погружения.

Масса цилиндра

m = r·S·h. (2)

Небольшое погружение цилиндра в воду на некоторую глубину Δ х относительно положения равновесия приводит к увеличению объёма погружённой части

V = S(x_o + Δ x).

Архимедова сила увеличится

F¢_A= r_в·gS(·x + Δ x).

В результате равновесие нарушится, следовательно, равнодействующая сила

F = mg – F'_A.

С учётом (1)

. (3)

Цилиндр совершает гармонические колебания только в том случае, если сила в процессе колебаний изменяется пропорционально смещению Δ х и направлена к положению равновесия:

. (4)

Сравнивая выражения (3) и (4), находим

. (5)

Если колебания совершаются под действием силы, изменяющейся по закону (4), то независимо от природы этой силы период колебаний

. (6)

Подставив выражения (2) и (5) в формулу (6), получим:

. (7)

Период колебаний цилиндра .

Ответ: Т = 0,56 с.

Пример 5. Звуковые колебания, имеющие частоту n = 0,5 кГц и амплитуду А = 0,25 мм, распространяются в воздухе со скоростью
u = 340 м/с. Определить длину волны l, фазу j колебаний, смещение x(х,t) искорость частиц среды, отстоящих на расстоянии
х₁ = 0,4 м от источника волн в момент времени t = 2 мс.

Дано: n = 0,5 кГц = 500 Гц; А = 0,25 мм = 0,25·10^-3м; u = 340 м/с; х₁ = 0,4 м; t = 2 мс. Найти: l; j;

;

Рис. 4

Решение: Длина волны l равна расстоянию, на которое распространяется колебание за один период (рис. 4):

. (1)

Подставляя значения величин u и n, получим: .

Уравнение плоской волны:

, (2)

где x – смещение колеблющихся частиц, находящихся на расстоянии х от источника; u – скорость распространения волны.

Фаза колебаний частиц с координатой х₁ = 0,4 м в момент времени
t = 2 мс определяется выражением

. (3)

Взяв производную от смещения по времени, находим скорость :

. (4)

Подставив значения величин в выражения (2), (3), (4), в момент времени t = 2 с для частиц среды с координатой х = 0,4 м получим:

фазу колебаний или
j = 148 º;

смещение ;

скорость .

Ответ: l = 0,68 м; j = 2,58 рад; x = 0,21 мм; .

Пример 6. Волны частотой ν = 0,5 кГц распространяются со скоростью u = 400 м/с. Чему равна разность фаз двух точек волны, если они удалены друг от друга на расстояние Δ r = 0,2 м и лежат на прямой, перпендикулярной фронту волны?

Дано:u =400 м; ν = 0,5 кГц = 500 Гц; Δ r = 0,2 м. Найти:Δ j.

Решение: Если две точки волны удалены друг от друга на расстояние, равное длине волны l, то разность фаз между ними равна 2 p. Следовательно, если точки отстоят друг от друга наΔ r, то разность фаз этих точек найдём по формуле

. (1)

Длина волны . (2)

Из (1) и (2) следует

Ответ: Δ j = 0,5 pрад.

Пример 7. Длина волны красного света в вакууме (воздухе)
l₁ = 0,7 мкм. Какой будет длина волны l₂ и её скорость u распространения в воде? Какой цвет видит человек, открывший глаза в воде?

Дано: l₁ = 0,7 мкм = 0,7·10^-6 м; с =3·10⁸ м/с; п = 1,33. Найти: l ₂; u.

Решение: По определению абсолютный показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в данной среде:

, (1)

где с – скорость света в вакууме; u – скорость света в среде.

Из формулы (1) находим скорость распространения света в воде: .

Длина волны света в вакууме . (2)

Длина волны в среде (3)

Следовательно, .

Воспринимаемый глазом цвет излучения зависит от частоты света, которая при переходе света из одной среды в другую не меняется. В воде человек увидит красный цвет.

Ответ: u = 2,25·10⁸ м/с; l₂ = 0,53 мкм.

Пример 8. На какой диапазон длин волн и частот можно настроить колебательный контур радиоприёмника, если в контур включены катушка переменной индуктивности от L₁ = 0,5 мкГн до L₂ = 10 мкГн и конденсатор переменной ёмкости от С₁ = 10 пФ до С₂ = 500 пФ. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано: L₁ = 0,5 мкГн = 0,5·10^-6 Гн; L₂ = 10 мкГн = 10^-5 Гн; С₁ = 10 пФ = 10^-11 Ф; С₂ = 500 пФ = 5·10^-10Ф; u = 3·10⁸ м/с. Найти: от l₁ до l₂;от n₁ до n₂.

Решение: Длина волны связана с периодом колебаний Т следующим соотношением:

l = u·Т, (1)

где u = 3·10⁸ м/с– скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

Период колебаний идеального колебательного контура определяется по формуле

. (2)

Минимальная длина волны диапазона

, (3)

Длине волны l₁ соответствует максимальная частота

. (4)

Максимальная длина волны диапазона

, (5)

ей соответствует минимальная частота

. (6)

Подставив числовые значения величин в формулы (3), (4), (5), (6), получим: , , , .

Ответ: l₁ = 0,2 м; l₂ = 2,1 м; n₁ = 15∙10⁸ Гц; n₂ = 1,43∙10⁸ Гц.

Пример 9. Маленький шарик подвешен на нити длиной l = 1 м к потолку вагона. При какой скорости вагона шарик будет особенно сильно раскачивается под действием ударов колёс о стыки рельсов? Длина рельсов s = 12,5 м.

Дано: l = 1 м; s = 12,5 м. Найти: u.

Решение: Шарик совершает вынужденные колебания, которые вызваны ударами колёс вагона о стыки рельсов. Частота n вынуждающей силы равна:

, (1)

где u – скорость движения вагона.

Размеры шарика малы по сравнению с длиной нити, поэтому период его колебаний определим как для математического маятника:

Частота собственных колебаний шарика

. (2)

Амплитуда вынужденных незатухающих колебаний максимальна в случае резонанса, когда

(3)

Подставляя в условие (3) выражения (1) и (2), найдём

откуда .

С учётом числовых значений .

Ответ: u = 6,2 м/с.

Пример 10. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой
М = 240 г, прикреплённый к невесомой пружине, жёсткость которой
k = 40 кН/м. Другой конец пружины закреплён. В шар попадает пуля массой m = 10 г, имеющая в момент удара скорость u₁ = 400 м/с, направленную вдоль оси пружины (рис. 5). Пуля застревает в шаре. Определить амплитуду колебаний шара.

Дано: М =240 г = 24·10^{-2 кг}; k = 40 кН/м = 40·10³ Н/м; m =10 г = 10^{-2 кг;} u₁ = 400 м/с. Найти: А.

Рис. 5

Решение: Скорость шара u₂ после неупругого удара (рис. 5а) определяется из закона сохранения импульса:

, (1)

откуда

. (2)

В момент соударения пуля сообщает шару кинетическую энергию, вследствие чего шар и пуля начинают сжимать пружину. Сжатие пружины будет продолжаться до тех пор, пока вся кинетическая энергия движения шара и пули Е₁ не перейдёт в потенциальную энергию деформации пружины Е₂. Согласно закону сохранения энергии

Е₁ = Е₂. (3)

В начальный момент движения энергия колеблющейся системы

Е₁= Е_ш +Е_пр +Е_п,

где Е_ш, Е_пр, Е_п – энергии шара, пружины, пули, соответственно.

Учитывая, что в начале пружина не деформирована, то есть Е_пр = 0, а шар и пуля движутся со скоростью u₂, находим

. (4)

Потенциальная энергия пружины достигнет максимума, когда кинетическая энергия шара и пули станет равной нулю (рис. 5б). При этом смещение шара и пули от положения равновесия будет максимальным:

Е_ш= 0, Е_п= 0, .