Примеры решения задач. Пример 1. Фокусное расстояние объектива микроскопа Fоб = 5 мм, окуляра Fок = 25 мм

Пример 1. Фокусное расстояние объектива микроскопа F_об = 5 мм, окуляра F_ок = 25 мм. Предмет находится на расстоянии а = 5,1 мм от объектива. Вычислить угловое увеличение Г и длину тубуса l микроскопа.

Дано: Fоб = 5 мм = 5∙10-3 м; Fок = 25 мм = 25∙10-3 м; а = 5,1 мм = 5,1∙10-3 м. Найти: Г; l.

Решение: Оптическая система микроскопа представляет собой комбинацию двух короткофокусных линз – объектива и окуляра. Схема построения изображения в микроскопе приведена на рис. 1.

Предмет помещают непосредственно перед фокусом F_об объектива. Расстояние между окуляром и объективом обычно подбирают так, чтобы действительное увеличенное перевёрнутое изображение A'B', даваемое объективом, находилось между фокусом F_ок окуляра и окуляром, близко к фокусу окуляра.

Окуляр, действуя как лупа, даёт увеличенное мнимое изображение А"В", расположенное между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра.

Полное угловое увеличение микроскопа

Г = Г_об∙Г_ок, (1)

где Г_об – угловое увеличение объектива; Г_ок – угловое увеличение окуляра.

Г_об и Г_ок определяются по формулам:

; , (2)

где b – расстояние от объектива до даваемого им промежуточного изображения A'B'; L_н = 25 см – расстояние наилучшего зрения для нормального глаза.

С учётом (1) и (2)

. (3)

Используя формулу тонкой линзы для объектива , находим .

Зная b, определим увеличение микроскопа по формуле (3) .

Длину тубуса микроскопа (расстояние от объектива до окуляра) рассчитываем, исходя из того, что изображение А'B', даваемое объективом, практически должно лежать в фокусе окуляра. Поэтому длина тубуса
l = b + F_ок = 25,5∙10^–2 + 25∙10^–3 м = 28 см.

Ответ: Г = 510; l = 28 см.

Пример 2. На каком расстоянии друг от друга необходимо подвесить лампы в теплицах, чтобы освещённость Е на поверхности Земли в точке, лежащей посередине между двумя лампами, была не менее
200 лк? Высота теплицы h = 2 м. Сила света каждой лампы
I₁= I₂ = 800 кд (рис. 2).

Дано: Е = 200 лк; h = 2 м; I1= I2 = 800 кд. Найти: l.

Рис. 2

Решение: Освещённость Е в точке А (рис. 2) есть сумма освещённостей, создаваемых каждой лампой в отдельности,

Е = Е₁ + Е₂. (1)

Поскольку лампы имеют одинаковые световые характеристики и равноудалены от точки А, то

Е₁ = Е₂. (2)

Лампы можно принять за точечные источники света, так как их размеры малы по сравнению с расстоянием до точки А, в которой освещённость равна Е.

Освещённость одного изотропного точечного источника по определению

, (3)

где a – угол падения лучей в точку А; r – расстояние от лампы
до точки А; cos a = h/r.

С учётом формул (2) и (3) освещённость в точке А от обоих источников света S₁ и S₂

. (4)

Откуда

. (5)

По теореме Пифагора из треугольника SOA находим

.

В соответствии с рис. 2 искомое расстояние

. (6)

Подставив выражение (5) в (6), получим:

. (7)

Вычислим .

Ответ: l = 3,04 м.

Пример 3. Найти все длины волн видимого света (от l_фиол = 0,38 мкм до l_кр = 0,76 мкм), которые будут: 1) максимально усилены; 2) максимально ослаблены при оптической разности хода ∆ интерферирующих волн, равной 1,8 мкм.

Дано: lфиол = 0,38 мкм = 38·10-8 м; lкр = 0,76 мкм = 76·10-8 м; ∆ = 1,8 мкм = 18·10-8 м. Найти: lmax; lmin.

Решение: Условие максимумов интенсивности света при интерференции выполняется, если на оптической разности хода укладывается целое число длин волн

, (1)

где k = 0, 1, 2, 3, 4,...... – порядок максимума.

Исходя из формулы (1), проведем расчет длин волн l для k = 1, 2, 3, 4, 5. Получим следующие значения длин волн:

при k = 1 l1 = 1,8 мкм, при k = 2 l2 = 0,9 мкм, при k = 3 l3 = 0,6 мкм,

при k = 4 l4 = 0,45 мкм, при k = 5 l5 = 0,36 мкм.

Сравнивая полученные значения длин волн с границами указанного видимого диапазона, определяем, что максимально усилены будут волны с длинами l₃ = 0,6 мкм и l₄ = 0,45 мкм.

Условие минимумов интенсивности света при интерференции выполняется, если на оптической разности хода укладывается нечётное число длин полуволн

, (2)

где k = 0, 1, 2,….– порядок минимума.

По аналогии с первой частью решения подстановкой различных значений k в формулу (2), находим длины волн, которые будут максимально ослаблены.

Это волны с длинами l^’₄ = 0,72 мкм, l^’ ₅= 0,51 мкм и l^’₆ = 0,4 мкм при
k = 4, k = 5, k = 6.

Ответ: Максимально усилены волны с длинами 0,6 мкм и 0,45 мкм; максимально ослаблены волны с длинами 0,4 мкм, 0,51 мкм и 0,72 мкм.

Пример 4. На дифракционную решётку нормально к её поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны l = 0,5 мкм. Помещённая вблизи решётки собирающая линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удалённый от линзы на расстояние L = 1 м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 3). Определить: постоянную решётки d; число n штрихов на 1 мм; число N максимумов интенсивности, которое даёт решётка; максимальный угол j_max отклонения лучей, соответствующий последнему дифракционному максимуму.

Дано: l = 0,5 мкм = 5∙10–7 м; L = 1 м; l = 20,2 см = 20,2·10–2м; k = ± 1. Найти: d; n; N; φmax.

Рис. 3

Решение: Постоянная d решётки, длина волны l и угол j отклонения лучей, соответствующих k -му дифракционному максимуму, связаны соотношением

, (1)

где k – порядок спектра или в случае монохроматического света порядок максимума.

Ввиду того, что для максимума первого порядка угол j мал, можно принять

. (2)

С учётом формул (1) и (2) постоянная решётки

. (3)

Отсюда .

Число штрихов на 1 мм решётки найдём по формуле

. (4)

Следовательно, .

Для определения числа максимумов, даваемых дифракционной решёткой, вычислим сначала максимальное значение k_max, исходя из того, что максимальный угол отклонения лучей решётки не может превышать 90^o. Для k_max формула (1) принимает вид

. (5)

Подставляя значения величин, получим k = 9,9.

Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значение sinj должно быть больше единицы, что невозможно. Поэтому k_max = 9.

Дифракционная картина расположена симметрично относительно центрального максимума (k = 0), следовательно, влево и вправо от него будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов и полное их число c учетом центрального максимума

N = 2 k_max+ 1= 19. (6)

Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму (k_max = 9), выразим из соотношения (1) синус этого угла: .

Отсюда .

Произведя вычисления, получим j _max = 65,4^o.

Ответ: d = 4,95 мкм; n = 202 мм^-1; N = 19; j _max = 65,4^o.

Пример 5. Определить концентрацию С сахарного раствора, если при прохождении света через трубку длиной l = 20 см с этим раствором плоскость поляризации света поворачивается на угол j = 10^o. Удельное вращение раствора сахара [ a ] = 0,6 град/(дм∙%).

Дано: l = 20 см = 0,2 м; j = 10o; [ a ] = 0,6 град/(дм∙%) = 6 град/(м∙%). Найти: С.

Решение: Угол поворота плоскости поляризации оптически активного раствора определяется по формуле

j = [ a ] C∙l, (1)

где С – концентрация раствора; l – расстояние, проходимое светом в растворе; [ a ] – удельное вращение раствора.

Отсюда

. (2)

Подставим числовые значения величин в (2) и вычислим .

Ответ: С = 8,33 %.

Пример 6. Плоская монохроматическая световая волна 1 падает на изотропную прозрачную плоскопараллельную пластинку с показателем преломления n и толщиной d под углом a (рис. 4). За счёт отражения света от верхней и нижней поверхностей пластинки в направлении отражённых лучей 1' и 1" распространяются две плоские волны. Найти оптическую разность хода ∆ этих волн.

Дано: n; d; a. Найти:∆.

Рис. 4

Решение: Для простоты рассмотрим луч 1, показывающий направление распространения волны. На поверхности пластинки в точке О луч 1 разделяется на два: частично отражается от верхней поверхности пластинки, а частично – преломляется. Преломлённый луч, дойдя до точки C, частично преломляется в воздух, а частично отражается от нижней поверхности пластинки (границы раздела двух сред). В точке D он опять частично отражается и преломляется, выйдя в воздух под углом a.

Оптическая разность хода лучей 1' и 1" от точки O до плоскости АD

∆ = L₂ - L₁, (1)

где L₁ и L₂ – оптические длины путей световых волн в направлении распространения лучей 1' и 1" соответственно.

Оптическая длина пути равна произведению геометрического пути l, пройденного светом в среде, и показателя преломления n этой среды:

L = n∙l. (2)

Для световой волны в направлении луча 1'оптическую длину пути найдём по формуле

, (3)

где n₁ – показатель преломления воздуха (n₁ = 1).

Добавление слагаемого l_o/2 обусловлено потерей половины волны при отражении от оптически более плотной среды (l_o – длина волны в вакууме).

Согласно рис. 4

l₁ = ОА = ОD∙sin a = 2d ∙tg b∙ sin a. (4)

Для второй волны, распространяющейся в направлении луча 1",

L₂ = n₂ (OC + CD). (5)

Из рис. 4

OC = CD = d / cos b.

Учитывая формулы (3), (4), (5) и закон преломления , получим: .

Ответ: .

Пример 7. Максимум энергии излучения чёрного тела при некоторой температуре приходится на длину волны l_m = 1 мкм. Определить излучательность тела при этой температуре и энергию W, излучаемую с площади S = 300 см² поверхности тела за время t = 1 мин; массу излучаемых фотонов, соответствующую энергии W.

Дано: lm = 1 мкм = 10–6 м; S = 300 см2 = 3∙10–2 м2; t = 1 мин = 60 с. Найти: Ro; W; m.

Рис. 5

Решение: Энергетическую светимость (излучательность) абсолютно чёрного тела определим из закона Стефана–Больцмана

R₀ = s Т⁴, (1)

где s – постоянная Больцмана (s = 5,67∙10^–8 Вт/(м²К⁴)); T – термодинамическая температура.

Распределение энергии в спектре излучения абсолютно чёрного тела является неравномерным и имеет ярко выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких длин волн (рис. 5). По закону Вина длина волны l_m, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна термодинамической температуре T:

, (2)

где b – постоянная Вина (b = 2,89∙10^–3 м∙K).

С учётом (2) формула (1) примет вид:

. (3)

Энергию, излучаемую с площади S поверхности тела за время t, определим по формуле

W = R_oSt. (4).

Отсюда W = 5,67∙10^–8×(2,89∙10^–3/ 10^–6)⁴ ∙3∙10^–2∙60 Дж = 7,1 МДж.

Из соотношения взаимосвязи энергии и массы W = mc² найдём массу излучаемых фотонов

m=W / c², (5)

где c – скорость света в вакууме.

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: R_o = 5,67·10^-8 Дж/м²с; W = 7,1 МДж; m = 7,88∙10^–11 кг.

Пример 8. Определить: кинетическую энергию W_к; скорость фотоэлектронов u при облучении натрия светом длиной волны l = 400 нм, если красная граница (порог) внешнего фотоэффекта для натрия
l_max = 600 нм.

Дано: l = 400 нм = 4∙10–7 м; lmax = 600 нм = 6∙10–7 м. Найти: Т; u;Wк.

Решение: Кинетическую энергию фотоэлектронов найдём из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

, (1)

где h – постоянная Планка (h = 6,63∙10^-34Дж∙с); v – частота света;
А – работа выхода электрона; W_к = mu²/2 – кинетическая энергия электрона; т – масса электрона; u – скорость электрона.

Из уравнения (1) следует

W_к = mu²/2 = hv – A. (2)

Частоту света определим по формуле

v = c/l, (3)

где с = 3∙10⁸ м/с – скорость света в вакууме; l – длина волны падающего света.

При облучении поверхности металла светом частотой v_min, соответствующей красной границе фотоэффекта, кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю, поэтому уравнение (1) примет вид

hv_min = А.

Отсюда с учётом формулы (3) работа выхода

А = hс/l_max. (4)

Подставим в (2) формулы (3) и (4):

. (5)

Вычислим .

Из формулы W_к = mu²/2 выразим скорость электронов:

.

Произведя вычисления, получим .

Ответ: W_к = 1,04 эВ; u = 606 км/с.

Пример 9. Определить энергию и длину волны фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый, который соответствует основному (невозбужденному) состоянию.

Дано: n = 1; k = 3. Найти: l; e.

Решение: Переход электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой сопровождается излучением фотона, энергия которого

e = hv = hc/l, (1)

где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; v, l – частота и длина волны, соответствующие фотону с энергией e.

Длина волны излучаемого фотона связана с номерами уровней соотношением

, (2)

где R – постоянная Ридберга (R = 1,1∙10⁷ м^–1); п – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; m – номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.

Следовательно,

. (3)

Подставим числовые значения в формулу (3), получим

.

Энергию фотона найдём по формуле (1) .

Ответ: l = 102 нм; e = 12,2 эВ.

Пример 10. На поверхность площадью S = 3 см² за время t = 10 мин падает свет, энергия которого W = 20 Дж. Определить: облучённость (энергетическую освещённость) поверхности Е_е; световое давление р и силу F светового давления на поверхность, в случаях полного поглощения и полного отражения падающего излучения.

Дано: S = 3 см2 = 3∙10–4 м2; t = 10 мин = 600 с; W = 20 Дж. Найти: Ее; р1; F1; р2; F2.

Решение: По определению облученность

. (1)

Отсюда .

Световое давление найдём по формуле

, (2)

где с – скорость света в вакууме; ρ – коэффициент отражения.

Если поверхность полностью поглощает излучение, то ρ = 0 и тогда .

Если поверхность зеркальная, то коэффициент ρ = 1 и тогда .

Сила светового давления на поверхность

F = p∙S, (3)

где p – световое давление; S – площадь поверхности.

В случае полного поглощения лучей сила светового давления
F₁ = 3,7∙10^–7 3∙10^–4 Н = 11,1∙10^–11 Н.

В случае полного отражения лучей сила светового давления
F₂ = 7,4∙10^–7 ∙ 3∙10^–4 Н = 22,2∙10^–11 Н.

Ответ: Е_е = 111 Вт/м²; при полном поглощении падающего излучения давление р₁ = 0,370 мкПа, сила светового давления F₁ = 11,1∙10^–11 Н; при полном отражении – р₂ = 0,740 мкПа, F₂ = 22,2∙10^–11 Н.

Пример 11. Вычислить длину волны де Бройля l электрона, движущегося с кинетической энергией W_к = 1 кэВ.

Дано: Wк = 1 кэВ = 1,6·10-16 Дж. Найти: l.

Решение: Любой микрочастице, обладающей импульсом р, соответствует длина волны де Бройля

, (1)

где h – постоянная Планка.

Если частица движется со скоростью u «с (с – скорость света в вакууме), то её импульс

, (2)

где m₀ – масса покоя частицы.

При движении частицы со скоростью, сравнимой со скоростью света с, энергия частицы превосходит её энергию покоя, поэтому необходимо учитывать релятивистские поправки

. (3)

По условию задачи кинетическая энергия электрона мала по сравнению с его энергией покоя (Е₀ = m₀∙c² = 0,511 МэВ), что позволяет рассчитывать импульс электрона по формуле (2).

Кинетическая энергия W_к электрона и его импульс р связаны формулой

. (4)

Подставив (4) в (1), получим

. (5)

Значение волны де Бройля .

Ответ: l = 0,04нм.

Пример 12. Для предпосевного облучения семян в течение 10 минут применяли лазер, излучающий свет длиной волны l = 632 нм. Интенсивность излучения I = 2∙10³ Вт/м². Определить: число фотонов N, поглощённых семенем площадью S = 5 мм²; массу m и импульс р одного фотона.

Дано: l = 632 нм = 632∙10-9 м; I = 2∙103 Вт/м2; t = 10 мин. = 600 с; S = 5 мм2 = 5∙10-6 м2. Найти: N; m; р.

Решение: Количество фотонов, поглощённых семенем,

N = W/e, (1)

где e – энергия фотона; W – энергия всего светового потока, падающего на семя.

Энергия светового потока

W = I∙S∙t. (2)

Энергию фотона определим по формуле Планка:

e = hc/l, (3)

где h – постоянная Планка; с – скорость света; l – длина волны.

С учётом (2) и (3) получим

. (4)

Число фотонов

.

Массу фотона m найдём из соотношения взаимосвязи массы и энергии:

e = mc². (5)

Используя формулу (3), запишем

.

Вычислим массу: .

По определению импульс фотона

р = mc. (6)

Отсюда р = 3,49∙10^–36∙3∙10⁸ кг×м/с= 10,47∙10^–28 кг∙м/с.

Ответ: N = 1,91∙10²¹ фотонов; m = 3,49∙10^–36 кг; р = 1,05∙10^–27 кг∙м/с.

Пример 13. Навеска почвы, в которую внесено удобрение с радиоактивным фосфором , имеет активность А = 3,7∙10³ Бк. Определить массу m радиоактивного фосфора в навеске. Период полураспада изотопа Т_1/2 = 14,28 дня.

Дано: фосфор - ; А = 3,7∙103 Бк; Т1/2 = 14,28 дня = 1233792 с. Найти: m.

Решение: Массу радиоактивного вещества m можно найти по формуле

, (1)

где М – молярная масса изотопа; N – число атомов (ядер), содержащихся в радиоактивном изотопе; N_A –постоянная Авогадро.

Число радиоактивных ядер N и активность вещества А (число распадов ядер за одну секунду) связаны соотношением

А = lN, (2)

где l = ln2 / T_1/2 – постоянная распада.

Преобразуем формулу (1) к виду

. (3)

Сделав подстановку числовых значений в формулу (3), получим: .

Ответ: m = 3,52∙10^–16 кг.

Пример 14. Определить дефект массы ∆ m, энергию связи Е_св и удельную энергию связи Е_уд атома бора .

Дано:атом бора – . Найти:∆ m; Есв; Еуд.

Решение: Дефект массы атомного ядра есть разность между суммой масс протонов и нейтронов, составляющих ядро, и массой ядра:

∆m = Zm_p + (A – Z)m_n – m_я, (1)

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре); m_р, m_n – массы протона и нейтрона соответственно; А – массовое число (общее число нуклонов в ядре); (А–Z) – число нейтронов в ядре; m_я – масса ядра.

Числа Z и A указываются при написании символа элемента:

Z – слева внизу; А – слева вверху; в данном случае для ядра атома бора Z = 5, A = 10.

Если учесть, что масса ядра равна разности между массой m_а нейтрального атома и массой Zm_e электронов, образующих электронную оболочку, то есть

m_я = m_а – Zm_e, (2)

то формулу (1) можно представить в виде:

, (3)

где – масса покоя атома водорода.

Используя табличные данные, определим дефект массы ядра атома бора по формуле (3):

∆m = (5∙1,00783 + (10 – 5)∙1,00867 – 10,01294))а.е.м. = 0,06956 а.е.м.

Энергия связи ядра – энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы без сообщения им кинетической энергии:

Е_св = ∆mc², (4)

где с – скорость света в вакууме.

Если дефект массы ∆m атомного ядра выразить в атомных единицах массы (1 а.е.м. = 1,67∙10²⁷ кг), то энергию связи Е_св можно рассчитывать в мегаэлектрон-вольтах (1эВ= 1,6∙10^-19 Дж) по формуле

Е_св =931 × ∆ m, (5)

где 931 Мэв/а.е.м.– коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе 1 а.е.м.

Подставив значение ∆m в (5), найдём энергию связи:
Е_св = 931 ∙ 0,06956 МэВ = 64,8 МэВ.

Удельная энергия связи – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон ядра

. (6)

Отсюда Е_уд = 6,48 МэВ.

Ответ: ∆m = 0,06956 а.е.м.; Е_св = 64,8 МэВ; Е_уд = 6,48 МэВ.

Пример 15. Вычислить энергию ядерной реакции . Выделяется или поглощается эта энергия?

Дано: . Найти: Q.

Решение: Энергия ядерной реакции

Q = c² [(m₁+ m₂) – (m₃+ m₄)],(1)

где m₁ и m₂ – массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; (m₃+ m₄) – сумма масс покоя ядер продуктов реакции, с – скорость света в вакууме.

Разность масс в формуле (1) не изменится, если заменить массы ядер массами их нейтральных атомов:

Q = c² [(m_O – 8m _e+ m_H – m _e) – (m_He– 2m _e+ m_N– 7m _e)], (2)

где m_O,m_H, m_He, m_N – массы нейтральных атомов кислорода , дейтерия , гелия , азота соответственно, m _e – масса электрона.

Упростив формулу (2), найдём

Q = c² [(m_O+ m_H) –(m_He+ m_N)]. (3)

Если числовые значения масс нейтральных атомов выразить в атомных единицах массы, то энергию ядерной реакции рассчитаем по формуле

Q = 931× [(m_O+ m_H) – (m_He+ m_N)], (4)

где 931 Мэв/а.е.м. – коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе 1 а.е.м.

Используя табличные данные, вычисляем:

Q = 931× [(15,99491 + 2,01410) – (14,00307 + 4,00260)] МэВ= 3,11 МэВ.

В результате ядерной реакции выделяется энергия, так как масса исходных ядер больше массы ядер, образовавшихся в результате реакции.

Ответ: Q = 3,11 МэВ.