Спектр дискретного сигнала преобразования Фурье

Дан аналоговый сигнал , который имеет сплошной спектр

Спектральная плотность дискретизированного по времени сигнала имеет периодическую структуры с периодом нах по оси частот , т.е. спектр аналогового сигнала периодически повторяется.

Спектр дискретизированного сигнала по времени (2) будет определяться следующим выражением

(3)

Если количество выборок конечно и сигнал существует при , то сумма (3) становится конечной. (4)

где - длительность сигнала; - период дискретизации; - количество выборок.

Для осуществления цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной, но и в частотной области. Это означает, что сплошной спектр должен быть представлен совокупностью своих значений на дискретных частотах . Такой спектр, получается из сплошного при периодическом повторении последовательности с периодом . Интервал между соседними спектральными линиями (5)

Подставляя в выражение (4) получаем

, где при чётном (6)

Полученное выражение (6) называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Аргументы и обычно называются просто и . Поэтому ДПФ можно записать

, где (7)

в пределах одного периода . Выражение (6) трактовать, как алгоритм вычисления спектральных коэффициентов по заданным временным отсчётам . Если велико, то реализовать (6) очень сложно.

Существует алгоритм быстрого преобразования Фурье – реализован в микросхемах.

Используя дуальность прямого и обратного преобразования Фурье можно, основываясь на выражении (7) получить выражение для ОДПФ

, где (8)

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).

Вывод. Дискретизированному сигналу , где , соответствует сложный спектр с периодической структурой. Свойства непрерывных преобразований Фурье распространяются также и на ДПФ

Дискретизированному спектру соответствует периодическая последовательность сигналов повторяемых с периодом .

Дискретное преобразование Лапласа (9)

Неудобство функции 5,6,7,3 является наличие множителя , что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной связанной с следующим соотношением ;

При такой замене указанные функции от преобразуются рациональные функции от переменной ;

(10)

прямое - преобразование (одностороннее).

Некоторые свойства - преобразования.

Преобразование плоскости в плоскость можно осуществить с помощью следующих соотношений, связывающих координаты какой-либо точки на плоскости с координатами , соответствующей точке на плоскости .

В полярных координатах на плоскости , .

Рассмотрим отображение некоторых характерных точек и областей из -плоскости на - плоскость.

а) Точка переходит в точку на вещественной оси - плоскости.

б) при движении точки - плоскости вдоль оси (т.е. ) в пределах соответствующая ей точка - плоскости описывает окружность единичного радиуса. Один полный оборот радиуса-вектора соответствует изменению частоты в интервале

в) Левая полуплоскость внутри полосы отображается внутрь единичного круга на плоскости .

г) При движении точки вдоль оси в пределах от до точка описывает бесконечно большое число окружностей. Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга. Все параллельные полосы такой же ширины соответствуют этому же кругу.