Рекомендации к выполнению лабораторной работы. Рассмотрим несколько примеров

ПРИМЕР 1. Найти корни полинома

Решим уравнение графически. Проведем табулирование полинома на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2. В ячейку В2 введем формулу:

В2=A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104

На графике (рис. 20) видно, что функция три раза пересекает ось Оx.

Рис. 20

Исходя из того, что полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение найдено.

Интервалы изоляции корней полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8].

Найдем корни полинома методом последовательных приближений с помощью команды Сервис®Подбор параметра.

В качестве начальных значений приближений к корням можно взять любые точки из интервалов изоляции. Пусть это будут -0.9, 0.3 и 0.7.

Введем эти значения в лист Excel, например так:

А14=-0.9, А15=0.3, А16=0.7,

а в ячейку В14 введем формулу:

В14=A14^3-0,01*A14^2-0,7044*A14+0,139104

которую скопируем в ячейки В15 и В16.

Рис. 21

Далее обратимся к пункту меню Сервис®Подбор параметраи заполнить диалоговое окно (рис. 21): В поле Установить в ячейке дается ссылка на ячейку в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения f(x)=0. В нашем случае В14.

В поле Значение вводим правую часть уравнения, т.е. ноль.

В поле Изменяя значения ячейки дается ссылка на ячейку, в которую было введено начальное приближение (А14).

Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметров удобнее не с клавиатуры, а щелчком на соответствующей ячейке.

Рис. 22

После нажатия кнопки ОКпоявится диалоговое окноРезультат подбора параметрас сообщением об успешном завершении поиска решения (рис. 22) и приближенное значение корня будет помещено в ячейку А14(рис. 23).

Два оставшихся корня находим аналогично. Результаты вычислений будут помещены в ячейки А15 и А16 (рис. 23).

Рис. 23

ПРИМЕР 2. Решить уравнение .

Проведем локализацию корней нелинейного уравнения. Для этого построим график функции (рис. 24).

Рис. 24

Уравнение имеет два решения. Одно из них тривиальное и может быть вычислено точно:

.

Для второго можно определить интервал изоляции корня и найти корень уравнения методом последовательных приближений.

Введём начальное приближение в ячейку D18 и само уравнение, со ссылкой на начальное приближение, в ячейку E18 (рис. 25).

Рис. 25

Далее воспользуемся пунктом меню Сервис®Подбор параметра (Excel 2003) или Данные®Анализ «что если» ® Подбор параметра (Excel 2010, рис. 26)

Рис. 26

Заполним диалоговое окно (рис. 27)

Рис. 27

Результатпоиска решения будет выведен в ячейку D18 (рис. 28):

Рис. 28

ПРИМЕР 3. Решить систему нелинейных уравнений:

1. Сведем систему к одному уравнению:

2. Решим уравнение графически.

3. Уточним корень X методом последовательных приближений.

4. Вычислим значение Y.

Рис. 29

Пример 4. Решить систему уравнений

.

В MS Excel есть очень удобная операция – Поиск решения (рис. 30). Вообще говоря, она предназначена для решения задач оптимизации. Применим ее для решения системы уравнений, сведя задачу к задаче отыскания минимума функции.

Пусть в ячейках D1 и D2 [35] хранятся начальные значения переменных x₁ и x₂. В ячейки E1 и E2 введем уравнения системы: E1=2*D1-3*D2+4, E2=D1+D2-4.

В качестве функции цели введем формулу F1 = E1^2+E2^2 [36].

Рис.30. Поиск решения системы уравнений

Обратимся к решающему блоку с помощью команды Сервис®Поиск решения и заполним диалоговое окно, так как показано на рис. 1.33[37]. Далее нажмем кнопку Выполнить и получаем решение системы в ячейках D1 и D2:

x₁= 1,600000128, x₂= 2,39999949.

[31] Чтобы добавить пустой столбец можно воспользоваться командами Вставка®Столбец или Добавить ячейки…®столбец.

[32] Функции СУММ и СРЗНАЧ можно ввести с клавиатуры или при помощи Мастера функций

[33] Маркер автозаполнения – черная точка в нижнем правом углу ячейки. При установке курсора в маркер автозаполнения он принимает вид черного перекрестия.

[34] Данные можно вводить, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

[35] Ячейки не заполняются и по умолчанию равны нулю. При желании можно решить задачу графически и ввести в качестве начальных приближений значения близкие к корням.

[36] Сумма квадратов заданных функций.

[37] Иначе говоря, необходимо найти минимум функции в ячейке F1, изменяя значения переменных из ячеек D1 и D2.