Полное приращение функции нескольких переменных. Определение частной производной с геометрической интерпретацией. вычисление частных производных на конкретных примерах

Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда ф-я z получит наращенное значение f(x+Δx, y+Δy). Величина Δz=f(x+Δx, y+Δy) – f(x,y) называется полным приращением ф-и в точке (x,y). Если задать только приращение аргумента х или только приращение у, то полученные приращения ф-и соответственно Δ_хz=f(x+Δx,y) – f(x,y) и Δ_уz=f(x,у+Δy) – f(x,y) называются частными. Геометрически Δz представляет собой разность аппликат точек к поверхности z=f(x,y) соответствующим точкам (х,у) и (x+Δx, y+Δy).

Частной производной ф-и нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-и к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е. .

(используются также обозначения .

Пусть график ф-и z=f(x,y) есть некоторая поверхность Р, а сечение ее плоскостью у=у₀ – кривая Г_х. Частная производная z’_x выражает угловой коэффициент касательной к кривой Г_х в заданной точке (х_о, у_о), т.е. z’_x(х_о, у_о)=tgα, где α – угол наклона касательной к оси Ох. Аналогично z’_у(х_о, у_о)=tgβ.