Понятие монотонности и экстремума ф-и с геометр интерпретацией и примерами

Если производная ф-и f(x) положительна (отрицательна) во всех точках промежутка, то ф-я f(x) монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

Ф-я f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если для любых двух точек x1 и x2 (x1 меньше x2) этого промежутка справедливо неравенство: f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)).

Необходимое условие возр (убыв) ф-и: если диф-мая ф-я y=f(x) возр (убыв) на интервале (a,b), то в любой точке х этого интервала f’(x)≥0 (f’(x)≤0).

Геометрически это означает, что в каждой точке графика возраст ф-и касательная или образует острый угол с осью Ox или параллельная с ней, а в каждой точке графика убывающей ф-и касательная или образует тупой угол с осью Ox или параллельна с ней.

Например, ф-я у=х³ – возрастающая. (f’(0)=0)

Достаточное условие: Если производная диф-ой ф-и положительна (отрицательна) повсюду (т.е. ф-я непрерывно возрастает или убывает повсюду), исключая лишь разве конечное число х, ф-я будет возрастать (убывать). Разделить интервалы непрерывности могут лишь точки, в которых f’(x)=0.

Точка, в которой производная обращается в ноль называется стационарной. Но не каждая стац точка может разделять интервалы монотонности.

Пример. f(x)=x², f’(0)=0, x=0 стац точка

Пример. f(x)=|x|, но f’(0) не существует

Пусть ф-я определена и непрерывна на некотором интервале (a,b) и содержит точку х_о. Точка х_оназывается точкой максимума (минимума) ф-и y=f(x), если в некоторой окрестности точки х_о для всех х ≠ х_о выполняется неравенство f(x)≤f(х_о) (f(x)≥f(х_о)).

Точки min и max – точки экстремума. Значение ф-и в этих точках называется max (min) ф-и, экстремумом ф-и.

Необходимое условие локального экстремума диф-ой ф-и, но недостаточное: если диф-я ф-я имеет в точке х_оэкстремум, то производная f’(x_o)=0.

Если расширить класс рассматриваемых ф-ий и допустить, что в отдельных точках производная равна ∞ или вовсе не сущ-ет, то экстремум может прийти на какую-либо из этих точек.

Теорема об необходимом условии локального экстремума: если ф-я f(x) имеет в точке х_о локальный экстремум, то производная в этой точке обращается в 0, ∞ или вовсе не сущ-ет (критические точки по первой производной).

14. Необходимое и достаточное условия монотонности дифференцируемых функций с геометрической интерпретацией. нахождение интервалов монотонности функции.

Например, ф-я у=х³ – возрастающая. (f’(0)=0)

Пример. f(x)=x², f’(0)=0, x=0 стац точка

Пример. f(x)=|x|, но f’(0) не существует

15*. Необходимые и достаточные условия экстремума функции с геометрической интерпретацией и конкретынми примерами.

Пусть ф-я f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (a,b), Содержащем точку x₀. x₀называют точкой max (min) ф-ии f(x), если существует такая δ-окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀ этой окрестности выполняется нер-во f(x)≤f(x_o) (f(x) ≥f(x_o))/ Точки min и max- т. экстемума.

Значение ф-ии в этих точках- min(max) ф-ии (экстремум ф-ии).

Необходимое условие локального экстремума:

Если деф-я ф-я имеет в т.x_oлокальный экстремум, то производнаяа в этой точке f'(x_o)=0, ∞ или вовсе не существует.(Критические точки по 1ой производной)

{Если допустить, что в отдельных точках производная равна ∞ или вовсе не существует, то экстремум может прийти на какую-либо из этих точек.}

Достаточное условие:

1.Пусть x₀-критическая точка ф-ии f(x),если при переходе через точку x_o слева направо производная f'(x) меняет знак с + на – (с - на+), то ф-я f(x) в точке x₀ имеет локальный max(min). Если ф-я не меняет знака в δ-окестности т. x₀, то данная ф-я не имеет в этой точке локального экстремума.

2.Если первая производная дважды диф. Ф-ии =0 в нек. т. x₀, а 2ая производная в этой же точке положительна (отрицательна), то x₀- точка локального min(max).

f'’(x₀)>0 x₀– т.min, f'’(x₀)<0 x₀– т.max

3. Предположим, что ф-я f(x) в некоторой окрестности т. x₀n раз непрерывно дифференцируема, те имеет непрерывные производные до n-ого порядка включительно.

Пусть все ф-ии f'(x₀)= f’’(x₀)=…=f⁽ⁿ^-1)(x₀)=0, а fⁿ(x₀)≠0. Если n-нечетное, то в точке x₀ экстремума нет, если n-четное, то x₀ – точка экстремума, причем точка max, если fⁿ(x₀)<0, min, если fⁿ(x₀)>0.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения f(x) на отрезка [a,b] нужно из значения ф-ии на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее и наименьшее.

Необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба и геометрический смысл перегиба. Схема нахождения точек перегиба с демонстрацией на конкретных примерах.

Кривая называется выпуклой вверх (вниз) на интервале (a,b), если на этом интервале кривая расположена не выше (не ниже) касательной к графику ф-и, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости: если вторая производная f’’(x) ф-и f(x) положительна (отрицательна) на промежутке Х, то ф-я явл выпуклой вниз (вверх) на этом промежутке.

Точки, разделяющие интервалы выпуклости, называются точками перегиба.

Необходимое условие точек перегиба, но недостаточное: если f(x) дважды непрерывно диф-ая ф-я на некотором промежутке, то в точках перегиба кривой у=f(x), лежащих на этом промежутке f’’(x)=0.

Например, f(x)=x³, f’’(0)=0

Достаточное условие: если в некоторой окрестности точки х_о f’’(x) непрерывна всюду, кроме быть может самой этой точки (в ней f’’(x) может и не сущ-ть) и при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак, то в точке х_ографик ф-и имеет перегиб.