2015-05-13
390
Комплексным числом 
называется выражение вида 
, где 
и 
- действительные числа, 
- мнимая единица, определяемая равенством 
или 
:
; (1.1)
называется действительной или вещественной частью комплексного числа ; 
называется его мнимой частью. В технической литературе применяется также обозначение 
.
Если 
, то число 
называется чисто мнимым; если же 
, то 
, т.е. получаем действительное число. Комплексные числа и 
называются сопряженными.
► Приведите пример комплексного числа, чисто мнимого числа, действительного числа.
► Запишите числа, сопряженные к 
.
Два комплексных числа 
и 
называются равными, если 
, 
, т.е. если равны их действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда и . Выражение (1.1) называется алгебраической формой комплексного числа.
Арифметические действия с комплексными числами в алгебраической форме осуществляются следующим образом.
Суммой (разностью) комплексных чисел и называется число 
(
).
Произведением комплексных чисел и называется число 
.
Частным от деления комплексного числа на комплексное число 
называется число
.
► Даны два комплексных числа 
и 
. Укажите их действительные и мнимые части. Найдите их сумму, разность, произведение и частное и запишите сопряженные к ним комплексные числа.
Отметим, что действия с комплексными числами в алгебраической форме выполняются как с многочленами с учетом того, что .
Пример 1.1. Решить уравнение 
и проверить правильность полученного результата.
Решение. 
Проверка.
1) 
2) 
Следовательно, задача решена верно.
Заметим: если дискриминант квадратного уравнения отрицательный, то оно имеет комплексные корни, причем корни являются сопряженными, как и показывает предыдущий пример.
Комплексное число можно изобразить точкой 
с координатами и или вектором 
также с координатами и .
 |
Рис. 1.1.
