2015-05-13
1258
Обозначим через 
и 
полярные координаты точки 
, считая начало координат полюсом, а положительное направление оси 
– полярной осью. Тогда
(рис. 1) можно записать
и
или
(1.2)
Выражение, стоящее справа в формуле (1.2), называется тригонометрической формой записи комплексного числа; называется модулем комплексного числа, а – его аргументом; они обозначаются следующим образом:
,
при этом 
, 
.
Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается по часовой стрелке. Аргумент комплексного числа определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 
, где 
- любое целое число. Обычно используется главное значение аргумента 
, определяемое дополнительными условиями 
или 
. В дальнейшем, для определенности, будем считать, что . Если воспользоваться формулой Эйлера
,
то из тригонометрической формы (1.2) записи комплексного числа получаем показательную форму записи комплексного числа
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа особенно удобны при умножении, делении, возведении в степень комплексных чисел и извлечении корня из комплексного числа.
Пусть 
,
.
Тогда
,
.
► Найти действительную и мнимую части комплексного числа
.
Ответ: 
.
Возведение в степень комплексного числа и извлечение корня из него производится по формуле Муавра:
(1.3)
Замечание. При переходе от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической удобно пользоваться следующим правилом: обозначим 
; тогда 
, если комплексное число находится в первой четверти; 
для комплексного числа 
, находящегося во второй четверти; для комплексных чисел, находящихся в третьей и четвертой четвертях, соответственно 
и 
(рис. 2).
| |||||
 | |||||
|
Рис. 1.2.
► Изобразите графически комплексные числа 
и вычислите их модули и аргументы.
Пример 1.2. Дано: 
. Найти: 
.
