Задача 2. Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью V0 , попадает в покоящийся на шероховатом горизонтальном столе деревянный шар массой М и радиусом R на

Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью V₀, попадает в покоящийся на шероховатом горизонтальном столе деревянный шар массой М и радиусом R на расстоянии l ниже центра масс шара и застревает в нем. Найти установившуюся скорость V шара. Считать, что m<<M.

1. Построение физической модели

Для построения физической модели задачи воспользуемся близким по характеру примером из бильярда. Как известно, при ударе кием по бильярдному шару, тот начинает катиться по поверхности стола. Импульс и момент вращения, кинетическая энергия шара возникли в результате столкновения кия с шаром. С учетом изложенного, картину столкновения пули и шара можно описать так. Быстролетящая пуля проникает в деревянный шар, тормозится и передает свой импульс, энергию и момент импульса шару. Так как удар неупругий, то механическая энергия не сохраняется, часть ее тратится на преодоление сил сопротивления материала. Полный импульс и момент импульса системы, напротив, сохраняются, так как для этих законов сохранения нет таких жестких ограничений как действие потенциальных сил. Важный момент данной задачи - скоротечность столкновения пули с шаром. Процесс проникновения и торможения пули происходит за десятые доли миллисекунды. За это время центр масс шара не успевает сколько-нибудь заметно сместиться из-за закона инерции. Второй важный момент задачи - учет шероховатости поверхности, который означает необходимость учета силы трения на начальном этапе движения шара. Эта сила может быть силой скольжения, если происходит качение шара с проскальзыванием, или сила трения качения, если проскальзывания нет.

2. Основные понятия задачи

В соответствии с физической моделью, имеем последовательность явлений:

1) неупругое столкновение пули с шаром с полной передачей импульса и момента вращения;

2) качение шара после столкновения при действии силы трения и заданных начальных условиях.

Для описания этих явлений необходимо знание:

1) импульса и момента импульса пули:

2) импульса и момента импульса шара:

;

3) условия непроскальзывания шара:

4) уравнений движения твердого тела:

,

.

3. Логическая схема решения

В соответствии с физической моделью, данную задачу можно разбить на две подзадачи: столкновение и качение.

Описание столкновения. При столкновении пули и шара сохраняется полный импульс и момент импульса системы. Математически это выглядит так:

При написании последнего уравнения учтено, что ось вращения проходит через центр масс шара и параллельна плоскости качения.

Итак, сразу же после столкновения центр масс шара движется со скоростью -

,

а сам шар вращается с угловой скоростью-

Легко видеть, что

.

Это означает, что качение тела начинается с проскальзывания.

Описание качения

Эта подзадача во многом повторяет задачу о качении колеса (см. задачу 1). Поэтому, воспользуемся пояснениями предыдущей задачи.

Уравнения движения шара после столкновения:

Разделим первое уравнение на второе:

Преобразуем это уравнение к виду удобному для интегрирования:

и проинтегрируем в пределах от U_o до U_кач и от _o до _кач.

При интегрировании необходимо учесть один нюанс. Он связан с тем, что знаки ₀ и _кач разные. Это показано на рисунке:

С учетом сказанного:

,

,

.

Задача 3

По направлению к Земле из глубины космоса движется метеоритное облако, скорость которого на значительном удалении от Земли равна V_o=5км/с. Поперечные размеры этого облака много больше диаметра Земли, (толщина облака по направлению движения) составляет h=1000 км, средняя концентрация метеоритов n=0,1 км^-3, а центр облака движется в направлении центра Земли. Найти общее число N метеоритов, которые попадут не Землю.

1.Физическая модель

На Землю попадут все метеориты, траектории которых пересекутся с Землей. Одни из них упадут на Землю, двигаясь практически прямолинейно, другие столкнутся

С Землей, потому что их траектории будут искривлены притяжением планеты. Качественно характер траекторий метеоритов, которые упадут на Землю можно изобразить рисунком.

Из рисунка следует, что все метеориты, находящиеся в цилиндрической области облака с радиусом R_o и длиной h, попадут на Землю. Поверхность вращения, которая образуется вращением предельной траектории dd’ вокруг линии аа ’, разграничивает две области метеоритов. Те которые лежат внутри этой поверхности - падают на Землю, те которые вне ее - облетают нашу планету и затем летят вспять.

1.Основные понятия

Может показаться, что основным понятием данной задачи будет сила гравитационного взаимодействия метеоритов и Земли, так как она искривляет траектории метеоритов, притягивая их к Земле. Однако решение этой задачи обходится без рассмотрения силы гравитации. Дело в том, что характер траекторий небесных тел, движущихся в поле тяготения силового центра (Солнца или Земли в данной задаче), определяется параметром орбиты и ее эксцентриситетом. Что это за величина можно узнать, заглянув в учебник А. Н. Матвеева “Механика и теория относительности” в разделе “Движение планет и комет”, тогда выяснится, что параметр орбиты и эксцентриситет определяются полной механической энергией и моментом импульса планет и комет. Сохранение же полной механической энергии и момента импульса при движении в потенциальном и центральном силовом гравитационном поле, обеспечивает каждую орбиту планеты или кометы своеобразной родовой меткой: на определенной орбите могут находиться только тела с фиксированными значениями полной механической энергии. Полная механическая энергия Е метеорита в поле тяготения Земли равна:

здесь r – расстояние от центра Земли до метеорита, m и M- масса метеорита и Земли, V - скорость метеорита относительно Земли.

Момент импульса l – метеорита относительно системы отсчета, связанной с центром земли равен:

,

где d - прицельный параметр – кратчайшее расстояние между направлением вектора скорости и центром Земли.

Сохранение полной механической энергии задается условием:

;

сохранение момента импульса

1.Логическая схема решения

Обратимся к рисунку, на котором изображены траектории движения метеоритов. Одна из этих dd ’ является особой. Она разделяет траектории, пересекающиеся с Землей, и, проходящие мимо Земли. Применим к этой траектории законы сохранения полной механической энергии для точек d и d’:

здесь R - радиус Земли.

Разрешая эту систему, найдем R_o:

Теперь не составляет большого труда найти число метеоритов, попадающих на Землю. Оно будет равно, как отмечалось выше, числу метеоритов, находящихся внутри цилиндра радиусом R_o и длиной h,

.

4. Качественные задачи-оценки

Задачи-оценки – это задачи, в которых все необходимые физические величины студент должен задать сам. Для решения таких задач не требуется высшая математика, но зато необходимы уверенные знания основ механики и физическая интуиция. Решение задач-оценок в определенной степени воспроизводит творческий подход профессионалов-физиков при первичном анализе новых явлений. Поэтому эти задачи можно рассматривать как первую «пробу на зубок» для тех, кто хочет в будущем серьезно заниматься физикой. Ниже предлагается несколько задач-оценок. Три из них сопровождены поясняющими решениями, остальные предназначены для самостоятельной работы.