Задача 2. Оценить частоту звучания скрипичной струны и зависимость ее от натяжения и плотности материала

Оценить частоту звучания скрипичной струны и зависимость ее от натяжения и плотности материала.

Шаг первый. Выясним, почему «поет» струна. Ответ прост. Для этого достаточно понаблюдать «пение» струны и придти к заключению, что причиной «пения» является колебание струны: струна «поет», когда есть колебания, и «молчит», когда их нет. Теперь остается сделать следующий шаг – оценить частоту колебаний струны и связать ее с частотой звуковых волн, возбуждаемых этими колебаниями.

Шаг второй. Для приближенного нахождения частоты колебаний закрепленной струны следует построить простейшую модель деформации струны смычком. Предположим, что смычок касается струны в ее середине. При движении смычка за счет сил трения струна будет увлекаться за смычком и деформироваться. В результате деформации струна примет следующую форму:

- сила натяжения струны.

Шаг третий. Поставим вопрос: насколько сильно может деформироваться струна? Ответ на этот вопрос связан с соотношением сил деформации и действия смычка. Последняя, при отсутствии проскальзывания смычка, есть не что иное, как сила трения покоя. Итак, одна сила может нарастать без особых ограничений, а другая имеет предел в виде силы трения скольжения. Что может произойти в этом случае? Конечно же, срыв струны. Причем, срыв произойдет тогда, когда параметр деформации струны у достигнет некоторого максимального значения .

Шаг четвертый. Найдем характерное время возвращения струны в равновесное положение, когда после срыва на нее действует только сила деформации. Для простоты оценок будем считать, что вся масса струны собрана в ее центре. Как видно из рисунка, на эту массу в направлении y будет действовать результирующая сила равновесия:

здесь F – сила натяжения. Сделаем новое предположение относительно силы натяжения. Это предположение основано на реальной практике: струна «поет» тем лучше, чем сильней она натянута изначально. С учетом того, что амплитуда колебаний мала (смещение струны скрипки трудно заметить невооруженным глазом), делаем другое предположение: при деформации струны сила натяжения возрастает, но ее величина остается близкой к величине начальной силы натяжения. Сказанное означает, что при деформации струны силу натяжения можно считать постоянной, а угол настолько малым, что

Теперь мы обладаем необходимой информацией, чтобы рассчитать время возвращения струны в положение равновесия.

здесь F – сила натяжения; l - длина; – линейная плотность материала струны; t – характерное время возвращения струны в равновесное положение.

Шаг пятый. Расчет характерной частоты «пения» струны. Вспомним, что это возмущения давления и плотности воздуха. При движении струны такие возмущения должны повторяться с периодичностью t, причем они будут максимальными, когда струна будет проходить положение равновесия, и ее скорость будет максимальной. Остается теперь связать период возмущений давления воздуха с характерной частотой звуковых волн: