Общие принципы оценки расхождения

Меру соответствия теоретического и экспериментального распределений характеризуют какой-либо случайной величиной W, которую называют мерой расхождения. В этом случае критерий согласия представляет собой число, равное вероятности того, что мера расхождения W вследствие случайных причин окажется не меньше её частного, полученного из опытов значения ω, то есть

k = P(W ≥ ω).

На практике за меру расхождения обычно принимают критерии λ, χ² и ω² (критерий лямбда, критерий хи-квадрат и критерий омега-квадрат соответственно). Порядок применения этих критериев определён ГОСТ 11.006-74.

Применение этих критериев основано на использовании так называемой нулевой гипотезы Н₀, т.е. гипотезы, утверждающей, что наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках (флуктуациями). Все остальные гипотезы, кроме нулевой, в этом случае называют альтернативными.

При этом задаются уровнем значимости α (ошибка первого рода) – ошибкой отклонения верной гипотезы. Ошибка второго рода β -ошибка принятия ложной гипотезы. Величина 1-β носит название мощности критерия. Выразив эту величину через определённый параметр, можно получить функцию мощности. Выбор значений α и β должен зависеть от последствий совершения ошибок первого и второго рода, причём уменьшить одновременно ошибки первого и второго рода можно только увеличением объёма анализируемой выборки.

На практике обычно используют α = 0,01; 0,05; 0,10 и др. Например, при α = 0,01 мы рискуем отвергнуть верную гипотезу в среднем один раз из ста проверок согласия. Дополнительная до единицы вероятность носит название доверительной вероятности γ.

Процедура проверки согласия опытного и теоретического распределений случайной величины х заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины х₁ ≤ х₂ ≤…≤ х_n,

в построении на основании их функции накопленных частостей и в сравнении этой функции с заданной теоретической.

7.2.Критерий согласия λ.

При использовании критерия λ определяют максимальное значение разности накопленной частости F_n(x) и вероятности F(x)

D_n = max [ F_n(x) – F(x) ] (44)

и вычисляют λ = D_n√n. (45)

Задаются доверительной вероятностью γ = P(λ_n ≤ λ_{n табл}), (46)

где

λ_{n табл} – табличное значение λ_n для заданной доверительной вероятности γ.

Если λ_n ≤ λ_{n табл}, то делают заключение, что нет оснований отвергать принятую гипотезу. Если λ_n > λ_{n табл}, то гипотезу отвергают.

7.3.Критерий согласия χ².

При использовании критерия χ² вычисляют

_k

χ² = ∑ (m_i – M_i)² / M_i, (47)

^i-1

где k – число интервалов разбиения; m_i – число отказов, попавших в i й интервал;

M_i – математическое ожидание числа отказов в i – м интервале при принятой гипотезе.

Задаются доверительной вероятностью γ = P(χ² ≤ χ²_табл), (48)

где χ²_табл – табличное значение χ² для заданной доверительной вероятности γ.

Если χ² ≤ χ²_табл, то для принятой доверительной вероятности гипотезу о согласии опытного и теоретического распределений принимают, в противном случае – отвергают.

7.4.Критерий ω².

При использовании этого критерия в качестве меры отклонения эмпирической функции распределения F_n(x) выборки от теоретической функции F(x) используют величину

_∞

ω² = ∫ [F_n(x) – F(x)]² dF(x). (49)

^{– ∞}

Вычисляют произведение

_n

nω² = 1/12n + ∑ [ F(x_i) – (2i – 1)/2n ]², (50)

ⁱ⁼¹

где n – число реализаций; F(x_i) – накопленная частость.

Задаются доверительной вероятностью

γ = P(nω² ≤ nω²_табл) (51)

где nω²_табл– табличное значение nω² для заданной доверительной вероятности.

Если nω² ≤ nω²_табл, то для принятой доверительной вероятности гипотезу о согласии опытного и теоретического распределений принимают, в противном случае – отвергают.

Критерий ω² является более мощным, чем критерии λ и χ², но при его применении требуется выполнение большого объёма вычислительных операций. Критерий ω² может более точно учитывать различия распределений на «хвостах», т.е. там, где наиболее отчётливо наблюдаются различия между распределениями.

По ГОСТ 11.006 – 74 число наблюдений случайной величины для проверки согласия опытного и теоретического распределений должно быть более 100, если используют критерий λ и χ² и более 50 – если используется критерий ω².