Представление эмпирического распределения

В ВИДЕ СУММЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

При обработке экспериментальных данных для получения характеристик надёжности нередко бывает удобным представить исследуемую выборку как смесь (сумму, суперпозицию) нескольких распределений.

К таким распределениям могут привести различные причины изготовления и эксплуатации – изготовление одних и тех же деталей на различном оборудовании или по разной технологии, изменение конструкции детали или узла, различия в условиях эксплуатации.

По внешнему виду распределения, например, наличию двух и более максимумов, можно судить о целесообразности использования суперпозиции распределений. В этом случае плотность эмпирического распределения представляют в виде суммы _k

f(x) = ∑ c_if_i(x) (52)

ⁱ⁼¹

где c_i – коэффициенты весомости i – го распределения (доля реализаций i – го распределения в смешанной выборке), f_i(x) – плотность i – го распределения определённого вида, _k

∑ с_i = 1.

ⁱ⁼¹

Оценку математического ожидания x и дисперсии s суперпозиции производят по формулам: _k

x = ∑ c_i x_i; (53)

_{k k} ⁱ⁼¹

s = ∑ c_is_i² + ∑ c_i (x_i – x)², (54)

^{i=1 i=1}

где x_i и s_i -оценки математического ожидания и дисперсии i- го распределения.

Например, если смесь распределений можно представить в виде k

нормальных распределений, то функция распределения суперпозиции

_{k x k}

F_c(x₁) = ∑ c_i (1/√2π s_i) ∫ exp [ – (x – x_i)² / 2s²_i ]dx = ∑ c_i Ф[(x₁ – x_i) / s_i], (55)

^{i=1 – ∞ i=1}

а плотность _k

f_c(x) = ∑(c_i/s_i) φ[(x–x_i)/s_i]. (56)

ⁱ⁼¹

При этом функция распределения суперпозиции в общем случае уже не будет иметь нормального распределения.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ (РЕГРЕССИОННЫЙ) АНАЛИЗ