Оценка параметров распределения

В общем случае ни при каком числе реализаций случайной величины (как угодно большом) по выборке нельзя определить точное значение неизвестного параметра распределения, а можно найти лишь приближённое значение, которое и называют оценкой по выборке неизвестного параметра распределения.

При выборе метода получения оценки стремятся выбрать более простой метод, в то же время желательно, чтобы выбранный метод обеспечивал получение несмещённой, эффективной и состоятельной оценки.

Для получения оценок используют ряд методов.

Метод моментов.

Метод моментов – один из самых распространённых и простых методов, который заключается в приравнивании теоретических моментов распределения к эмпирическим моментам соответствующего порядка и в определении параметров из полученных уравнений. Уравнений составляют столько, сколько имеется неизвестных параметров распределения. Так, для экспоненциального распределения достаточно одного уравнения, для гауссовского (нормального) распределения и гамма распределения необходимы два уравнения.

Для гамма-распределения, используя зависимости

f(x) =[ λ^α/Γ(α] x^α– e^–λх; M[x] = α/λ; σ²[x] = α/λ²

и приравнивая эмпирические значения среднего х и дисперсии s² к вычисленным значениям М[x] и σ²[x], получают

λ = x/s²; α = x²/s².

В общем случае оценки, полученные по методу моментов, не являются асимптотически эффективными и не обладают наименьшей дисперсией.

Для некоторых законов распределения (экспоненциального, нормального, логарифмически-нормального) оценки параметров распределения, полученные методом моментов, совпадают с оценками, найденными другим методом – методом максимального правдоподобия.

Метод моментов можно использовать только для оценки параметров по завершённым испытаниям, так как эмпирические моменты определяют только по полным выборкам. Для усечённых и многократно усечённых выборок метод моментов не применяют.