Типы особых точек: узел, фокус, седло, центр

Сепаратриса —(2шт) характеристика фазового портрета остобой точки «седло». Прямые, всегда направленные вдоль собственных векторов матрицы коэф линейных ур-ий системы.

Для системы: (dx/dt = ax+by; dy/dt = cx+dy)

Уравнения прямых- сепаратрис задаются уравнениями:

1) (a−λ_1,2)⋅x+b⋅y =0 или

2) c⋅x+(d−λ_1,2)⋅y =0,

где λ_1,2 — характеристические числа матрицы коэффициентов системы. Одному значению λ соответствует одна прямая (выражения 1 и 2 задают совпадающие прямые). Сепаратрисы могут совпадать с главными изоклинами. Кроме того, в роли сепаратрис могут выступать оси координат: например, если коэффициент b=0, то из уравнения 1) получаем уравнение сепаратрисы x = 0 (ось OY); если характеристическое число λ совпадает, например, с коэффициентом a = λ, то получаем уравнение 1), из которого следует, что прямая y=0 (ось OX) является сепаратрисой.

Устойчивость - c тац сост-е устойчиво, если при достаточно малом отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки. Уст сост-е соответствует уст режиму функционирования сист. Графически — точка перехода из «+» в «-»

Устойчивость по Ляпунову - Стационарное состояние x уравнения dx/dt = f (x) устойчиво по Ляпунову, если для любого ε > 0 всегда можно найти такое δ >0, что если [ x(t₀)−x ] <δ, то[ x(t)−x ] <ε для всех t₀ ≤t<∞.