Иерархия времен

Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений. «Совсем медленные» переменные не меняются на временах рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами. Для «быстрых» переменных можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными».

dx/dt = P(x, y, z), dx/dt = P(x, y, z*),

dy/dt =Q(x, y, z), => dy/dt= Q(x,y,z*) Медленная переменная z - параметр

dz/dt = F(x,y,z) T_x<<T _y<<T_z

Малый параметр (в теореме Тихонова) ε <<1; ε =1/A т.Т. устанавливает условия редукции системы дифференциальных уравнений с малым параметром (условия замены дифференциальных уравнений для быстрых переменных – алгебраическими) ε <<1 - малый параметр.

Присоединенная система — p=1/r; εdx_p/dt = F_p(x₁,x₂,...,x_r, x_r+1,...,x_N)

Если ε стремится к нулю,то получаем вырожденную сист-му. (+см теорему Тихонова)

Вырожденная система — q=r/N; dx_q/dt= F_q(x₁,x₂,...,x_r, x_r+1,...,x_N); Если характер решения не изменится при устремлении малого параметра ε к нулю (условия этого обстоятельства и составляют содержание теоремы Тихонова), можно устремить e к нулю и получить для «быстрой» переменной x вместо дифференциального уравнения — алгебраическое. F(x,y)=0, dy/dt =G(x,y)

Бифуркация — качественное изменение фазового портрета, при небольших изменениях в правых частях содержащихся там нелинейных членов.

Триггер - модель(система уравнений), описывающая переключение из одного режима функционирования в другой, будет иметь два или более устойчивых стационарных состояния, между которыми возможен переход. Система - триггерная.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внеш. источниками энергии, в нелинейной диссипативной системе, вид и св-ва к-рых определяются самой системой. Или (колебания имеющие постоянные период и амплитуду, устанавливаются независимо от начальных условий и поддерживаются свойствами самой системы, без воздействия периодической силы. Система- автоколебательная.)

Предельный цикл -замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему — «наматываются» на него (устойчивый П. ц.). Устойчивый П. ц. явл. матем. образом периодич. автоколебаний.

Устойчивый предельный цикл - предельный цикл уст, если существует такая область на фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл — окрестность ε, — что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности ε, асмиптотически при t → ∞ приближаются к предельному циклу. Если же наоборот, в любой сколь угодно малой окрестности ε предельного цикла существует по крайней мере одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при t → ∞, то такой предельный цикл называется неуст.

Внутри уст предельного цикла обязательно есть неуст точка типа фокус или узел. Необходимым условием рождения уст предельного цикла является переход (бифуркация) типа стационарного состояния от устойчивого фокуса к неустойчивому. После такой бифуркации возможность существования устойчивого предельного цикла сохраняется до тех пор, пока Reλ1,2 сохраняют положительное значение.

Аттрактор - компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), периодическая траектория (пример — самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Странный аттрактор - притягивающая область в фазовом пространстве.

Странный аттрактор — это аттрактор, имеющий два существенных отличия от обычного аттрактора: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция(показывает связь сигнала (функции) с копией самого себя, смещённого на величину тау) Тот факт, что все траектории, расположенные в окрестности С. а., притягиваются к нему при t → ∞, принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, к-рые неустойчивы по одним и устойчивы (притягивающи) по др. направлениям(т. е. являются седловыми). Траектории С. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счёт энергии внеш. источника. С. а. Характерны лишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых больше двух

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической: прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом, отличая его от стохастического хаоса, возникающего в стохастических динамических системах. Это явление также называют эффектом бабочки, подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время.

Распределенная система - система, в которой, в отличие от точечной, процессы в разных её точках протекают неодинаково.

Диффузия - процесс взаимного проникновения молекул одного вещества между молекулами другого, приводящий к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объёму. В некоторых ситуациях одно из веществ уже имеет выравненную концентрацию и говорят о диффузии одного вещества в другом. При этом перенос вещества происходит из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией.