Определение циклической подгруппы

Определение. Пусть . Циклической подгруппой , порожденной элементом , называется множество .

Это определение корректно, т.к. - снова степень , - снова степень .

Определение. Группа - циклическая, если такой, что .

Примеры циклических групп:
1) , т.к. ;
2) , где .

Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
Допустим, что найдутся такие , что . Тогда и . Следовательно, порядок элемента конечен . Пусть и , тогда . Следовательно, группа состоит из элементов . Докажем, что они все различны. Пусть и , тогда и . Получили противоречие, следовательно , все элементы различны и всего из штук, т.е. .
Если же все степени будут различны, то .

Теорема. Любая подгруппа циклической группы сама является циклической.
Доказательство.
Пусть . Тогда состоит из каких-то степеней элемента . Заметим, что если , то и . Если , то . Если же содержит не только единичный элемент, то содержит какой-то элемент , где (в силу нашего замечания выше). Пусть - наименьшее натуральное число такое, что . Пусть и , где . Тогда . Если , то мы получаем противоречие с выбором числа , следовательно, и . Следовательно .

Следствие 1. Пусть и , тогда такие, что .

Следствие 2. Пусть (порядка ) и - подгруппа в , тогда , причем .
Доказательство.
По теореме . Пусть , тогда . Следовательно . Докажем теперь включение в другую сторону. Пусть , но , следовательно . Следовательно , т.е. , причем .