Приближение кривых и поверхностей сплайнами

1) Получать кривые и поверхности по точкам можно несколькими способами, например, интерполяция.

Пусть есть {Xn} и {Yn}: y=f(x).

a-Xn<X1<X2<…<Xn-b.

Одной функцией описываем все точки.

Например, многочлен Лагранжа.

Получаем многочлен n-ой степени––Pn:

1. для 2 точек -P1
2. для 3 точек -P2 и т.д.

Погрешность зависит от производной. Например, 1/(1+100*x²)

При n ––> в промежуточных точках может происходить все, что угодно, например, возникают осцилляции.

Бороться с осцилляцией можно:

1. ограничивать степень многочлена
2. строить функцию по отрезкам––кусочное составление картинки по отдельным многочленам с маленькими степенями, например, так называемые кубические сплайны

2) Второй способ –– сглаживание

{Xi, Yi (+ или -) b_i}, таким образом, возникает области расположения точки –– ворота.

Задача –– найти Pn минимальной степени, проходящий через эти ворота.

Если точки не удается описать одной функцией и в этом случае, то строят функцию по отрезкам –– натягивают сплайн, удовлетворяющий условиям сглаживания.