Пример 2. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров

В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение:

Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:

.

При определении вероятности события, по ее классическому определению, требуется выполнение определенных условий. Эти условия заключаются в равновозможности и несовместности событий, входящих в полную группу событий, вероятность которых надо определить. На практике не всегда можно определить все возможные варианты исходов, а тем более обосновать их равновозможность. Поэтому при невозможности удовлетворения требованиям классического определения вероятности используют статистическую оценку вероятности события. При этом вводится понятие относительной частоты появления события А, равной отношению , где т — число испытаний, в которых произошло событие А; п - общее число испытаний.

Я. Бернулли доказал, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события А будет сколь угодно мало отличать от вероятности события А: .

Это равенство справедливо при неизменности условий, при которых проводится эксперимент.

Справедливость теоремы Бернулли была доказана и в многочисленных опытах по сравнению вероятностей, вычисленных классическим и статистическим методами. Так, в опытах Пирсона, по определению вероятности выпадения «герба» при выполнении 12 000 бросков, статистическая вероятность была равна 0,5016, а при 24 000 бросков — 0,5005, что показывает приближение к значению вероятности 0,5 по мере увеличения числа опытов. Близость значений вероятности, определенных различными способами, указывают на объективность возможности наступления этого события.

4. Теорема сложения вероятностей

Зная вероятности одних событий, можно вычислить вероятности других, если они связаны между собой. Теорема сложения вероятностей позволяет определить вероятность появления одного из нескольких случайных событий.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (2)

Доказательство. Пусть п - общее число равновозможных несовместных элементарных исходов; m₁ - число исходов благоприятствующих событию А; т₂ - число исходов, благоприятствующих событию В. Так как А и В несовместные события, то событию А+В будет благоприятствовать m₁+m₂ исходов. Тогда, согласно классическому определению вероятности:

Расширяя это доказательство на п событий, можно доказать следующую теорему.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А₁, А₂,..., А_п равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А₁ + А₂ +…+А_п) = Р(А₁) + Р(А₂) +…+Р(А_п) (3)

Из этой теоремы можно вывести два следствия:

Следствие 1. Если события А₁ ,А₂,..., А_п образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице, т.е. = Р(А₁) + Р(А₂) +…+Р(А_п) = 1. (4)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Доказательство. Противоположные события несовместны и образуют полную группу, а сумма вероятностей таких событий равна 1.

Пример 3.

Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение:

Событие А - выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А) = . Событие В - выпадение цифры 3, вероятность этого события Р(В) = . События несовместные, поэтому

Пример 4.

Получена партия одежды в количестве 40 штук. Из них 20 комплектов мужской одежды, 6 - женской и 14 - детской. Найти вероятность того, что взятая наугад одежда окажется не женской.

Решение:

Событие А - одежда мужская, вероятность

Событие В – одежда женская,

Событие С – одежда детская,

Тогда

В том случае, если события А и В являются совместными, то справедлива следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т. е.

( 5)

Доказательство. Пусть для полной группы событии, имеющих п исходов, т₁ исходов благоприятствуют событию А,т₂ - событию В, а l исходов благоприятствуют как событию А, так и событию В, тогда

; ; .

Так как событие А + В состоит в том, что произошло событие А, либо событие В, либо событие А и В. Поэтому ему будет благоприятствовать m_l+m₂-l исходов. Следовательно,