Непрерывные случайные величины

Определение 5.6. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функцию распределения можно представить в виде

(5.1)

Функцию называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины Х.

Предполагается, что несобственный интеграл в формуле (5.1) сходится.

Свойства плотности распределения .

1. для всех – условие неотрицательности плотности.

2. – условие нормировки.

3. .

4. Если – дифференцируемая функция, то .

Рассмотрим наиболее важные распределения непрерывных случайных величин.

1. Равномерное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если ее плотность распределения

Функция распределения в этом случае определяется выражением:

Заметим, что равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок .

2. Показательное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если она имеет плотность распределения

где – параметра показательного распределения.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

3. Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами , если ее плотность распределения имеет вид

При – это так называемое стандартное нормальное распределение, плотностью которого является встречавшаяся ранее функция Гаусса

Функция распределения нормального распределения случайной величины является интегралом, не выражаемым через элементарные функции:

При произвольных значениях параметров для функции нормального распределения справедлива формула

где – интеграл Лапласа (таблица 3 приложения). При этом вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ,

(5.2)

Пример 5.3. Задана плотность распределения непрерывной случайной Х:

Найти постоянный параметр А, функцию распределения . Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервал .

Решение. 1. Для нахождения постоянного параметра А воспользуемся условием нормировки плотности распределения: . Тогда для заданной функции получаем:

отсюда и плотность распределения примет вид:

2. Найдем функцию распределения .

Если , то , следовательно, .

Если , то .

Таким образом, искомая функция распределения

3. .

Пример 5.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .