Интегральная форма (материальный баланс)

Изменение массы в некотором фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода массы из выделенного объема:

(2.29)

Через массовый расход: G =

= G_вх - G_вых (2.30)

Для i-го компонента:

= G_iвх – G_iвых + (2.31)

Здесь V_mi масса компонента i, образующаяся в единице объема за единицу времени.

Локальная форма сохранения массы.

z

j^m_x j^m_{x +dx}

x

Рис.2.4.

Массовый расход среды, входящий в объем dV в направлении оси X через левую площадь dydz (рис.2.4.): G_xвх = j^m_x dydz, а выходящий через противоположную площадь dydz.

G_xвых = j^m_x+dx dydz = (j^m_x+ )dydx (2.31)

Изменение массы в объеме dV за счет переноса по направлению X:

G_xвх – G_xвых = - dxdydz = - (2.32)

Суммарное изменение массы в объеме dV равно сумме изменений по всем трем осям:

G_вх – G_вых = (2.33)

Изменение массового расхода в объеме dV только за счет изменения плотности:

G_вх – G_вых = dV (2.34)

Тогда получим:

= 0 (2.35)

Или упрощенно:

) (2.36)

Уравнение неразрывности для сжимаемой среды.

Если плотность постоянная:

(W)=0 (2.37)

Уравнение неразрывности для несжимаемой среды.

В многокомпонентной системе закон сохранения i-го компонента:

(2.38)

Здесь t_mi – изменение массы компонента i за счет источника (хим. реакция).

В общем случае закон сохранения массы применительно к единичному объему можно сформулировать следующим образом:

Скорость Результирующая источник

Накопления = скорость поступления + массы

Массы массы

Для многокомпонентных систем уравнение записывают обычно для потока вещества и тогда вместо плотностей используются мольные концентрации компонентов:

(2.39)

где m_i – мольная масса компонента i.

При отсутствии источника массы, с учетом выражения для потока компонента, нестационарная конвективная диффузия записывается уравнением:

(2.40)

Распишем уравнение (2.40):

(2.41)

При допущении D_ij =const и равенстве нулю среднемассовой скорости получим:

(2.42)

Это и есть второй закон Фика.

Для стационарной диффузии

= 0 (2.43)

2.1.5.2 Закон сохранения энергии.

Изолированная система не обменивается с окружающей средой массой и энергией; поэтому суммарная энергия этой системы постоянна:

E = const, E = 0, = 0

Рассмотрим закон сохранения энергии для открытой системы.