Критерий Гурвица

Пусть дано характеристическое уравнение системы

Необходимо составить определитель Гурвица из коэффициентного уравнения

Правило составления определителя видно из его структуры. По глав­ной диагонали последовательно записываются n коэффициентов урав­нения, начиная со второго (а_n-1). Сверху от элементов главной диаго­нали в каждом столбце записываются коэффициенты с последовательно убывающими, а снизу — с возрастающими индексами. При этом на место коэффициентов с индексами, большими n или меньшими 0, записы­ваются нули. Получается определитель, содержащий n строк и n столб­цов.

Далее составляются главные диагональные миноры определителя Гурвица:

; ;

и т. д. до D_n включительно.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим обра­зом. Для устойчивости линейной системы автоматического регулиро­вания необходимо и достаточно, чтобы при a_n>0 все главные диагональные миноры определителя Гур­вица были положительны.

Если выполнены все условия критерия Гур­вица, кроме одного (D_n-1=0), то характеристическое уравнение си­стемы имеет пару сопряженных чисто мнимых корней. Если же выпол­нены все условия Гурвица, кроме a₀=0, то уравнение имеет один нулевой корень. И в одном, и в другом случаях си­стема находится на границе устойчивости: в первом случае она назы­вается границей колебательной устойчивости, а во втором — аперио­дической устойчивости.