Диффузионный рост наночастиц

Рассмотрим сферическую наночастицу радиуса R, находящуюся в жидкости. Пусть в жидкости растворено вещество с плотностью . На поверхности частицы плотность растворенного вещества равна , вдали от частицы плотность этого вещества равна . Считая, что плотность растворенного вещества в окрестности частицы зависит от радиальной координаты , которая отсчитывается от центра частицы, запишем уравнение стационарной диффузии

. (1)

Решая это уравнение с граничными условиями

получаем распределение концентрации растворенного вещества в окрестности частицы в виде

(2)

График этой зависимости имеет вид

Рис.1. Зависимость плотности вещества, растворенного в жидкости, от расстояния до центра частицы

Для расчета диффузионного роста частицы найдем плотность массового потока к ее поверхности

= (3)

где - коэффициент диффузии растворенного вещества.

Плотность массового потока представляет собой массу, проходящую через единицу площади за единицу времени. Тогда через всю поверхность частицы за единицу времени проходит масса

= (4)

Приравнивая это выражение к скорости изменения массы частицы

где - плотность вещества частицы, - время, получаем дифференциальное уравнение, описывающее диффузионный рост частицы

(5)

Интегрируя это уравнение с учетом начального условия

получаем зависимость радиуса частицы от времени в виде

(6)

График этой зависимости имеет вид

Рис.2. Зависимость радиуса частицы от времени в ходе ее диффузионного роста

Используя (6), определим время , за которое квадрат радиуса частицы возрастет вдвое

(7)

Для того чтобы мы могли использовать стационарное уравнение диффузии (1) вместо нестационарного уравнения диффузии

время установления стационарного режима диффузии должно быть мало, по сравнению со временем (характерное время изменения радиуса частицы). Условие представим в виде