Дискретные преобразования Фурье

Наблюденное магнитное поле, представленное непрерывной кривой, можно дискретизировать, т.е. получить совокупность дискретных значений функции, взятой с определенным шагом дискретизации. Значения наблюденных величин, представленные в дискретном виде, удобны для использования в дальнейшем для компьютерной техники.

Заданные совокупностью дискретных значений магнитные поля подвергаются функциональным преобразованиям. Такие преобразования осуществляются с помощью дискретных преобразований Фурье. Дискретные преобразования Фурье исходят из обычных преобразований Фурье, но при этом операция интегрирования непрерывных функций переходит в операцию суммирования дискретных значений:

, (11.1)

а также обратное преобразование

. (11.2)

Здесь - период спектра дискретной функции, полученной при дискретизации исходной непрерывной функции f(t.) – (временной функции).

Формула (11.1) описывает Фурье-образ дискретной функции . На основе этой формулы находят соответствие (осуществляется отображение) между действительной функцией и комплексной функцией . Формула (11.2) позволяет вычислять действительную функцию (оригинал) по заданной комплексной функции .

Из формул (11.1) и (11.2) видно, что суммы содержат совокупность гармонических колебаний и . Функции и F(ω_k) играют роль амплитуд гармоник

Представим формулы (11.1) и (11.2) в другом виде:

(11.3)

(11.4)

где

, (11.5)

(11.6)

Здесь , а k – дискретная последовательность чисел, причем - частота, соответствующая моменту времени .

Ограничившись положительными значениями частоты , получим формулу для обратного преобразования Фурье в таком виде:

(11.7)

В формулах для заданной частоты выполняем суммирование по всем заданным дискретным значениям исходной функции а именно При применении формул отрезок задания функции принимают за отрезок или на котором рассматривается переменная . Переменная круговая частота зависит от и изменяется на отрезке от 0 до . Число изменений зависит от количества заданных дискретных значений функции. При этом