Формула Бернулли

Пусть и – соответственно появление и непоявление события в -м испытании (). – событие, состоящее в том, что в независимых испытаниях событие появится раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие повторилось ровно раз в определенной последовательности. Воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.

Представим событие через элементарные события . Например, при , :

.

В общем виде

(1)

Каждое слагаемое суммы (1) состоит из появлений события и непоявлений. Число всех слагаемых равно числу способов выбора из испытаний , в которых событие произошло, т.е. числу сочетаний . Вероятность каждого такого слагаемого по теореме умножения для независимых событий равна , а так как слагаемые события между собой несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим

.

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема1. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие наступит раз в независимых испытаниях, равна

или (). (2)

Формулу (2) называют формулой Бернулли.