Аналитическое решение задачи потребительского выбора

В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа:

дописать лямда

и найдем ее точки максимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:

Имеем

Отсюда мы получаем условия первого порядка решения задачи потребительского выбора:

т.к. MU_i/p_i = лямда то это действительно для любых товаров и является 1-й и той же величиной.

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя. Мы видим, что в точке решения задачи потребителя отношение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с отношением цен этих товаров.

Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Маршалла:

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.

Пример

Предположим, что в распоряжении потребителя имеется 2 вида товаров х₁ и х₂. Тогда функция полезности потребителя имеет следующий вид: u(х₁,х₂) = х₁х₂

Задача ПВ будет выглядеть => образом

Условия первого порядка приобретают следующий вид:

В этом случае, предельные полезности товаров MU₁= х₂, MU₂= х₁

и, следовательно, функции спроса Маршалла:

Замечание: использование аналитического метода далеко не всегда приводит к решению задачи потребительского выбора. В ряде ситуаций (совершенные товарозаменители, функция полезности Леонтьева) целесообразно использовать графическое решение.

Выясним, каков экономический смысл множителя Лагранжа . Найдем полный дифференциал функции полезности в окрестности точки потребительского выбора: