Раскрытие неопределенностей

Если функции f(x) и g(x) удовлетворяют на некотором отрезке [ ab ] условиям теоремы Коши и f(a) = g(a) = 0, то отношение f(x)/g(x) не определено при х=а, но определено при остальных значениях х. Поэтому можно поставить задачу вычисления предела этого отношения при Вычисление таких пределов называют обычно «раскрытием неопределенностей вида {0/0}».

Теорема 3 (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют на отрезке [ ab ] условиям теоремы Коши и f(a)=g(a)=0. Тогда, если существует

то существует и

причем

Доказательство.

Выберем

Из теоремы Коши следует, что

По условию теоремы f(a)=g(a)= 0, поэтому

При . При этом, если существует

то существует и

Поэтому

Теорема доказана.