Пример

Правило Лопиталя можно применять и для раскрытия неопределенностей вида , то есть для вычисления предела отношения двух функций, стремящихся к бесконечности при

Теорема 4. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы при в окрестности точки а, причем в этой окрестности. Тогда, если

и существует

то существует и

причем

Доказательство.

Выберем в рассматриваемой окрестности точки а точки a и х так, чтобы a < x < a (или a < x < a). Тогда по теореме Коши существует точка с (a < c < x) такая, что

Так как

получаем:

.

Так как

можно для любого малого e выбрать a настолько близким к а, что для любого с будет выполняться неравенство

Для этого же значения ε из условия теоремы следует, что

поэтому

Перемножим два полученных неравенства:

или

Поскольку e – произвольно малое число, отсюда следует, что

что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теорема 4 верна и при А= . В этом случае

Тогда и

следовательно,

Замечание 2. Теоремы 3 и 4 можно доказать и для случая, когда .