по дисциплине

Отчет по лабораторной работе № 1

«Основы радиоэлектроники и связи»

Тема: «Анализ прохождения гармонических сигналов через нелинейные цепи. Аппроксимация вольтамперных характеристик безынерционных нелинейных элементов»

Выполнил: студент гр. 3141 Понкин Д.О.

Руководитель: проф. Трофимов А.T.

Дубна, 2011

Цель работы

Целью лабораторной работы является анализ прохождения гармонических сигналов через нелинейные цепи, аппроксимация вольтамперных характеристик безынерционных нелинейных элементов. Закрепление навыков работы в среде MathCAD.

Теоретическая часть

Над линейными цепями совершаются линейные преобразования, над всеми составляющими цепи. Осуществляется принцип линейности (суперпозиции). К линейным соотношениям относятся суммирование, умножение, интегрирование, дифференцирование, умножение на константу и др. Для линейных цепей справедливы спектральный анализ, частотный анализы и др. Для нелинейных цепей принцип суперпозиции не выполняется, соответственно, нельзя применять методы анализа, справедливые для линейных цепей. В нелинейных цепях между током и напряжением существует нелинейная зависимость или .

Рассмотрим для примера схему нелинейной системы на рис.1.

Рис. 1. Нелинейная система.

На данном рисунке и – входные возмущения, F – некоторая функция, и – отклики системы,

.

Рассмотрим сумму , где и – неопределенные коэффициенты. Введем зависимость , которая равна функции от данной суммы . Тогда имеем:

.

Итак, мы получили то, что принцип линейности для данной зависимости не работает. Опустив функциональную зависимость и возведя сумму в квадрат, имеем аналогичную ситуацию:

.

Нелинейные цепи и схемы с нелинейными элементами подразделяются на последовательность линейных инерционных и нелинейных безынерционных элементов. К линейным элементам, как мы уже знаем, относятся все пассивные радиотехнические элементы – резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности и др. К нелинейным безынерционным элементам (БНЭ) относятся все активные полупроводниковые радиотехнические элементы – диоды, транзисторы, тиристоры, термисторы, варикапы и многие другие.

Применение нелинейных радиотехнических цепей следующее:

Различные амплитудные детекторы, использующиеся для амплитудного детектирования колебаний (элементарный полупроводниковый выпрямитель).

Смеситель (преобразователь) частот. Данное радиотехническое устройство применяется в приемниках сигналов для преобразования сигналов несущей частоты и в передатчиках сигналов для передачи человеческой речи. Для разборчивой узнаваемой речи длина волны передаваемого сигнала колеблется около 100 км, так как голосовой диапазон человека сосредоточен около 4 кГц. Поэтому нужна антенна приемника, соизмеримая с четвертью длины волны принимаемого сигнала. Но использовать антенну в 25 км нерентабельно. Для решения этой проблемы для человеческого голоса формируют переносчик с высокочастотным модулированным сигналом.

Модуляторы, основанные на модулировании радиотехнических сигналов. Модулированные колебания – сигналы на основе гармонических сигналов, у которых меняются параметры гармоники (или параметры колебания).

Усилители, работающие в линейном и нелинейном режимах. В нашем случае рассматривается именно нелинейный режим усилителя.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис. 2

Рис. 2. Обобщенная схема типовых устройств на нелинейных цепях

На данном рисунке U(t) – входной сигнал, БНЭ – безынерционный нелинейный элемент, Ф – некоторый линейный фильтр, V(t) – выходной сигнал. Такое устройство позволяет реализовывать различные нелинейные системы.

Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на НЭ, к выходу которого подключен электрический фильтр (линейная цепь). В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном НЭ происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет линейный фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя определенны образом параметры входных сигналов и используя различные НЭ и электрические фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра и выделять нужные составляющие. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы нелинейных усилителей, модуляторов, детекторов, автогенераторов, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

При анализе нелинейных радиотехнических цепей широко используется аппроксимация вольтамперных характеристик с помощью линейно ломаных прямых. Например, для ВАХ диода аппроксимации изображены на рис. 3.

Рис. 3 Линейная аппроксимация: ВАХ диода.

Уравнение прямых на рис. 3 , где . Также имеет место аппроксимация экспоненциальными кривыми:

.

Существует 2 метода аппроксимации:

Кусочно-ломанная:

В большинстве практических случаев, когда на НЭ радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительной амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику НЭ можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами НЭ — напряжением начала характеристики и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации харак­теристики записывается в виде:

Во многих радиотехнических устройствах вольт-амперную характеристику НЭ, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

полиномиальная:

Аппроксимация ВАХ БНЭ в виде полинома выгладит следующим образом:

,

или в виде последовательности с количеством п-членов

,

где – произвольные коэффициенты, – рабочая точка, которой определяется, какой сигнал присутствует на входе системы.

Ход работы

1. Полиномиальная аппроксимация

Исходные данные:

Рис. 4. График полинома третьего порядка

Рис. 5. График входного сигнала

Подставив вместо U S(t) получим:

(1)

Рис. 6. График выходного сигнала

Построим спектры сигналов:

Рис. 7. Спектры входного и выходного сигналов

Теперь рассмотрим случай, когда некоторые коэффициенты полинома обращаются в ноль.

Рис. 8. Спектр выходного сигнала при a3 = 0

Рис. 9. График выходного сигнала при a2 = 0

Рис. 10. Спектр выходного сигнала при a2 = 0

Рассмотрим сумму гармоник:

F0:=15 Гц.

Рис. 11. График суммы двух гармоник

Заменив S(t) на Ss(t) в выражении (1) получим:

.

Рис. 12. График суммы двух гармоник на выходе цепи

Получим спектры суммы двух гармоник и сигнала на выходе цепи:

Рис. 13. Спектр суммы двух гармоник

Рис. 14. Спектр сигнала на выходе цепи

Теперь рассмотрим случай, когда некоторые коэффициенты полинома обращаются в ноль. При a1 = 0 и а2 = 0 график выходного сигнала не меняет свой вид. При а3 = 0 получаем:

.

Рис. 15. График сигнала на выходе цепи при а3 = 0

Рис. 16. Спектр сигнала на выходе цепи при а3 = 0

2. Кусочно-ломанная аппроксимация

Зададим аппроксимацию зависимости тока на коллекторе от напряжения на переходе база-эмиттер рассматриваемого транзистора в виде прямой линии, начинающейся в начальной точке

напряжения (см. рис. 17).

Рис. 17. Нелинейное преобразование при линейной работе транзистора.

Вольтамперная характеристика (ВАХ) транзистора в данном случае для упрощения представляет собой прямую линию. - угол отсечки.

Исходные данные:

Рис. 18. График входной гармоники

Рис. 19. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ БНЭ

Рис. 20. График сигнала на выходе цепи при U0 = 0.1

Рис. 21. График сигнала на выходе цепи при U0 = 0.01

Рис. 22. График сигнала на выходе цепи при U0 = -Um+Un = 0

Рис. 23. График сигнала на выходе цепи при U0 = 0.2

Поострим спектры выходных сигналов при различном значении U0.

Рис. 24. Спектр сигнала на выходе цепи при U0 = 0.07

Рис. 25. Спектр сигнала на выходе цепи при U0 = 0.15

Рассмотрим случай, когда U0 – гармоника.

Рис. 26. График функции U0(t)

Рис. 27. График сигнала на выходе цепи

Рис. 28. Спектр выходного сигнала

Рассмотрим вид выходного сигнала при разных значений U0m.

А Б

Рис. 29. График (А) и спектр (Б) выходного сигнала при U0m = 0.1

А Б

Рис. 30. График (А) и спектр (Б) выходного сигнала при U0m = 0.041

Выводы:

· В ходе работы проведен анализ прохождения гармонических сигналов через безынерционные нелинейные цепи, рассмотрена аппроксимация вольтамперных характеристик нелинейных элементов двумя методами – полиномиальным и кусочно-ломанным. Построены графики и спектры входных и выходных гармоник, суммы гармоник и при АМ входном сигнале.

· Радиотехнические устройства на основе использования БНЭ строиться по общей схеме. Эта схема представляет собой последовательное соединение линейного фильтра и БНЭ.

· Анализ прохождения сигнала сводится к нахождению схемы фильтра для ликвидации этих гармоник.

· На вход нелинейной цепи подана сумма гармонических сигналов. В спектре выходного сигнала в результате взаимодействия входных гармонических сигналов в БНЭ появляются комбинационные гармоники, среди которых спектральные составляющие АМ-модулированного колебания. Причем, частота несущей гармоники равна частоте одного из входных гармонических сигналов.

· На вход цепи подан гармонический сигнал. Спектр сигнала на выходе БНЭ содержит гармоники, кратные частоте входного сигнала. Входной гармонический сигнал превращается в импульсы (полуволны). НЭ преобразовывает входной гармонический сигнал в полуволны, зависящие от Uo. Когда Uo = Uн (Θ = 90°) – на выходе имеем полуволны, входной сигнал исказился. Когда угол отсечки Θ = 180° (рис. 23) форма входного сигнала не искажается

· В спектре выходного сигнала в результате взаимодействия АМ-колебания и гармонического сигнала в БНЭ появляются комбинационные гармоники, среди которых спектральные составляющие АМ-модулированного колебания.

· При прохождении гармонического сигнала через цепь, сигнал искажается, но остается гармоническим, а спектр состоит из нескольких гармоник. При обращении коэффициентов полинома в ноль график сигнала искажается, а спектр сужается. Таким образом, степенная аппроксимация вольтамперных характеристик безынерционных нелинейных элементов существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются четными, а амплитуды нечетных гармоник – нечетными коэффициентами степенного полинома.

· Метод анализа прохождения сигналов через нелинейные цепи основан на том, что сигнал, проходя через нелинейный элемент, трансформируется таким образом, что на выходе нелинейного элемента образуется гармоники кратных частот от входного колебания. Либо комбинацию гармоник, если сигнал представляет сумму нескольких входных колебаний.

.