Найдем среднее дробного возраста при условии, что смерть наступила в возрасте n лет:
Очевидно, что
Отсюда
подсчитаем теперь величину для всех трех предположений о характере смертности для дробных возрастов.
Равномерное распределение смертей
Ясно, что
Т.е. совпадает с серединой одногодичного временного промежутка, то интуитивно мы и ожидали получить.
Постоянная интенсивность смертности
В этом случае
Поскольку , а величина достаточно мала, то, воспользовавшись представлением
разложим в ряд по степеням
после чего переходим к следующим оценкам для :
(2.3.1)
Докажем равенство (2.3.1). Так как
то, разложив функцию (отношение) двух переменных в ряд Тейлора в окрестности точки (, ), получаем
что и требовалось доказать.
Если не слишком мало, то имеет смысл учитывать и слагаемые порядка :
Постулат Балдуччи
Здесь
Дисперсию будем находить по следующей формуле:
Подсчитаем величину для всех трех постулатов смертности дробных возрастов.
|
|
Равномерное распределение смертей
Для этого постулата
Постоянная интенсивность смертности
Ранее мы получили, что
поэтому
после разложения отношения в ряд Тейлора в окрестности точки
имеем
Постулат Балдуччи
Здесь
Также на практике в некоторых случаях согласно полученным выше результатам, предположив независимость и , можно использовать следующие простые аппроксимации для среднего и дисперсии остаточного времени жизни: