Расчет замкнутой цилиндрической оболочки, имеющей на одном конце жесткое закрепление, а на другом – свободный конец

Рассмотрена замкнутая цилиндрическая оболочка, имеющая на одном конце жесткое закрепление, а на другом – свободный конец.

Оболочка находится под действием сосредоточенной нагрузки F, приложенной на свободном конце. Для оболочки принята своя система координат (рис. 2.1.).

Рис.2.1.

Сосредоточенную нагрузку F разложим в тригонометрический ряд по переменной β:

где .

Выражения для перемещения, усилий и моментов при действии этого вида нагрузки при различных граничных условиях приведены в работе [1].

Так, выражение для определения радиального перемещения ω(a) для оболочки, имеющей жесткое закрепление и свободный конец, при действии нагрузки, определяемой членом ряда n =0, имеет вид:

где

;

Выражения для определения радиальных перемещений w, при действии нагрузки, определяемой членом ряда n = 1,при рассматриваемых граничных условиях имеют вид:

при

(2.3)

Радиальные перемещения, определяемые остальными членами тригонометрического ряда n 2, найдем, используя приближенную теорию оболочек в форме Гольденвейзера. [ ]

Основное разрешающее уравнение приближенной теории оболочек в форме Гольденвейзера имеет вид. (1.1)

при

где

;

;

;

;

;

;

;

;

Расчет оболочки по этим формулам сводится к вычислению гиперболо-тригонометрических функций. При выполнении практических расчетов оболочек с использованием гиперболических функций при больших значениях аргументов появляется разность больших чисел. В этой случае в выражениях удобнее перейти от гиперболических функций к показательным функциям.

При .

где

При .

По приближенной теории :

где

Рис. 2.2.

При действии сосредоточенной силы F в любой точке оболочки (рис. 2.2.) выражения для определения радиального перемещения w, определяемой членом ряда n =0,имеют вид:

При n = 0:

При n = 1:

При n 2:

Расчет оболочки по этим формулам сводится к вычислению гиперболо-тригонометрических функций. При выполнении практических расчетов оболочек с использованием гиперболических функций при больших значениях аргументов появляется разность больших чисел. В этой случае в выражениях удобнее перейти от гиперболических функций к показательным функциям.

При n = 0 :

На участке :

где

На участке :

где

В качестве 1-го примера произведен расчет замкнутой цилиндрической оболочки со следующими геометрическими параметрами: длина оболочки L=30 м, радиус R=6 м, α₀=L/R=5, толщина стенки h=0,24 м, коэффициент Пуассона v=0,2. Оболочка нагружена сосредоточенной нагрузкой F, расположенной на свободном конце оболочки.

На рис.2.3 приведен график изменения величины радиального перемещения в точке приложения сосредоточенной силы в зависимости от количества членов ряда n.

Рис. 2.3.

На рис. 2.4 приведен график изменения величины радиального перемещения в точке в зависимости от количества членов ряда n.

Рис. 2.4.

	Радиальные перемещения в различных точках вдоль образующих и
α0/12	2α0/12	3α0/12	4α0/12	5α0/12	6α0/12	7α0/12	8α0/12	9α0/12	10α0/12	11α0/12	α0
Местоположение внешней сосредоточенной нагрузки τ	α0/12	437,2272	129,0455	75,6900	52,7608	40,8291	33,9563	29,7344	26,9918	25,0751	23,5877	22,2855	21,0333
13,0853	-0,1977	0,5575	1,1005	1,4228	1,8251	3,6728	7,3014	11,9535	16,8692	21,7229	26,5107
2α0/12	127,8881	633,5324	285,9954	200,1550	156,2153	130,9713	115,5931	105,8045	99,1998	94,2878	90,1219	86,1622
-1,3550	14,0506	1,9572	4,0614	6,1231	9,9770	17,6298	30,0670	46,0735	63,6193	81,4304	99,1818
3α0/12	75,7717	283,8347	797,6617	437,8243	338,8618	285,0053	253,0995	233,4691	220,8916	212,1320	205,0917	198,5365
0,6392	-0,2037	18,2653	8,7603	15,8784	27,3576	45,0651	69,5620	100,2274	134,8396	171,0212	207,5109
4α0/12	52,7561	200,2948	435,0713	955,8153	595,1904	494,3698	439,5793	407,9065	389,2076	377,5698	369,1667	361,6941
1,0957	4,2012	6,0073	31,1960	32,6799	55,7808	86,8859	126,2109	173,0675	226,1238	282,8231	340,6736
5α0/12	40,8294	156,2079	339,0149	592,6639	1123,7231	770,6040	676,6843	628,9555	604,3047	591,9103	585,1671	580,0768
1,4230	6,1157	16,0315	30,1534	72,6503	95,7277	142,7801	198,8162	263,0928	334,2109	410,2169	488,2056
6α0/12	33,9563	130,9716	284,9990	494,4823	768,9669	1334,3922	978,7130	900,5900	868,3562	857,9601	857,4653	859,8949
1,8251	9,9772	27,3512	55,8933	94,0906	161,4943	211,5105	285,5155	367,5558	455,8798	548,0968	641,9298
7α0/12	29,7345	115,5932	253,0996	439,5768	676,7301	978,0163	1549,7629	1238,9533	1187,6253	1181,0644	1193,0956	1210,6047
3,6728	17,6298	45,0652	86,8834	142,8259	210,8138	306,0744	383,7697	483,1168	586,8715	692,4741	798,1951
8α0/12	26,9919	105,8045	233,4692	407,9063	628,9572	900,5890	1238,6012	1849,1979	1580,2376	1571,3253	1603,7019	1647,6536
7,3014	30,0670	69,5620	126,2107	198,8178	285,5146	383,4175	505,2276	605,7703	722,9738	840,1673	957,1429
9α0/12	25,0751	99,1999	220,8916	389,2076	604,3043	868,3594	1187,6295	1579,3972	2252,3448	2051,2495	2109,5192	2198,3818
11,9535	46,0735	100,2274	173,0675	263,0924	367,5590	483,1211	604,9299	746,1984	860,8467	989,7237	1118,4084
10α0/12	23,5878	94,2878	212,1320	377,5698	591,9103	857,9597	1181,0654	1571,3833	2049,4238	2830,2030	2750,1184	2917,9665
16,8692	63,6193	134,8396	226,1238	334,2110	455,8795	586,8725	723,0318	859,0210	1013,6590	1140,1423	1280,9074
11α0/12	22,2855	90,1220	205,0917	369,1667	585,1671	857,4653	1193,0955	1603,6987	2109,6417	2747,4998	3759,2654	3946,6948
21,7229	81,4304	171,0212	282,8231	410,2169	548,0968	692,4739	840,1640	989,8463	1137,5236	1305,2504	1440,4182
α0	21,0333	86,1622	198,5365	361,6941	580,0768	859,8949	1210,6047	1647,6536	2198,3818	2917,9665	3946,6948	6764,3713
26,5107	99,1818	207,5109	340,6736	488,2056	641,9298	798,1951	957,1429	1118,4084	1280,9074	1440,4182	1658,7121

Значения, приведенные на рис. 2.3 и рис. 2.4, необходимо умножить на . Из графиков видно, что при определении радиального перемещения в точке приложения сосредоточенной силы достаточно в тригонометрическом ряду (1) удерживать 300 членов ряда, а при определении радиального перемещения в точках на образующей –

100 членов ряда.

Далее были взяты 12 точек приложения внешней сосредоточенной радиальной нагрузки F (τ= α₀/12 … τ= 11α₀/12) и 12 точек, в которых определялась величина радиального перемещения при и при . Полученные результаты сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

В числителе указана величина радиального перемещения при , в знаменателе - при . Значения, приведенные в таблице 1, необходимо умножить на .

Посмотрим, как изменяется величина радиального перемещения при изменении геометрических параметров оболочки. Проделав аналогичные операции, был выполнен расчет замкнутой цилиндрической оболочки со следующими геометрическими параметрами: длина оболочки L=30 м, радиус R=3 м, α₀=L/R=10, толщина стенки h=0,16 м, коэффициент Пуассона v=0,2. Оболочка нагружена сосредоточенной радиальной нагрузкой F, расположенной на расстоянии τ. Оболочка по концам шарнирно закреплена (рис. 2.1).

Были взяты 11 точек приложения внешней сосредоточенной радиальной нагрузки F (τ= α₀/12 … τ= 11α₀/12) и 11 точек, в которых определялась величина радиального перемещения при и при . Полученные результаты сведены в таблицу 2.

Таблица 2.

	Радиальные перемещения в различных точках вдоль образующих и
α0/12	2α0/12	3α0/12	4α0/12	5α0/12	6α0/12	7α0/12	8α0/12	9α0/12	10α0/12	11α0/12	α0
Местоположение внешней сосредоточенной нагрузки τ	α0/12	334,5614	102,4611	62,2975	44,9283	35,7054	30,1745	26,5026	23,6696	21,0564	18,4084	15,6993	12,9670
8,5098	-0,6884	0,6952	9,1871	15,3195	13,6056	7,2778	-0,3606	-7,8293	-14,7964	-21,4014	-27,8761
2α0/12	102,5150	492,8048	232,9832	168,8141	135,3483	115,2874	101,9019	91,7191	82,7425	73,9704	65,1040	56,1725
-0,6345	9,4990	11,9569	29,3166	43,0758	41,0532	23,3213	-1,6740	-28,0171	-53,5293	-78,0966	-102,2737
3α0/12	62,2969	232,9235	632,1076	364,3034	290,1859	248,0251	220,4543	200,1062	183,0898	167,2700	151,6584	136,0139
0,6946	11,8972	40,9903	53,2359	65,5488	62,5776	37,4889	-5,5921	-56,1827	-107,8518	-158,7002	-209,0166
4α0/12	44,9283	168,8119	364,3616	770,0021	501,5251	424,1635	377,8416	345,7783	320,8431	299,2345	278,8445	258,7052
9,1871	29,3144	53,2940	80,3198	77,8056	66,9893	36,5611	-17,6175	-90,1113	-170,1622	-251,6319	-332,9665
5α0/12	35,7054 135,3483	135,3483	290,1853	501,4613	914,6363	649,2801	573,1264	527,3920	495,8763	471,5489	450,4414	430,2645
15,3195	43,0758	65,5482	77,7418	83,6103	54,1750	13,6918	-47,3499	-132,1947	-235,1483	-345,5510	-457,4870
6α0/12	30,1745	115,2874	248,0251	424,1613	649,3424	1080,9972	814,9294	746,8632	709,7101	687,0336	671,0267	657,0558
13,6056	41,0532	62,5776	66,9871	54,2374	31,1990	-28,3700	-99,0766	-189,4899	-302,1959	-430,9271	-564,8240
7α0/12	26,5026	101,9019	220,4543	377,8416	573,1258	814,8615	1254,3803	1015,1859	966,8313	950,1372	946,7274	947,2926
7,2778	23,3213	37,4889	36,5611	13,6912	-28,4379	-80,5890	-168,1242	-264,0731	-375,4827	-503,0130	-639,1866
8α0/12	23,6696	91,7191	200,1062	345,7783	527,3920	746,8610	1015,2522	1485,0049	1280,1580	1268,3148	1286,6487	1313,5147
-0,3606	-1,6740	-5,5921	-17,6175	-47,3499	-99,0788	-168,0579	-243,7355	-349,0489	-454,3917	-563,4591	-675,1768
9α0/12	21,0564	82,7425	183,0898	320,8431	495,8763	709,7101	966,8306	1280,0862	1803,0112	1657,5696	1705,9133	1777,0857
-7,8293	-28,0171	-56,1827	-90,1113	-132,1947	-189,4899	-264,0738	-349,1207	-430,9568	-529,6350	-613,2536	-689,0523
10α0/12	18,4084	73,9704	167,2700	299,2345	471,5489	687,0336	950,1372	1268,3127	1657,6398	2273,3959	2233,6004	2380,1356
-14,7964	-53,5293	-107,8518	-170,1622	-235,1483	-302,1959	-375,4827	-454,3938	-529,5649	-586,9488	-651,7701	-705,8355
11α0/12	15,6993	65,1040	151,6584	278,8445	450,4414	671,0267	946,7274	1286,6487	1705,9113	2233,3720	3043,5641	3231,5938
-21,4014	-78,0966	-158,7002	-251,6319	-345,5510	-430,9271	-503,0130	-563,4590	-613,2556	-651,9986	-679,2367	-724,4106
α0	12,9670	56,1725	136,0139	258,7052	430,2645	657,0558	947,2926	1313,5147	1777,0857	2380,1356	3231,5938	5445,1622
-27,8761	-102,2737	-209,0166	-332,9665	-457,4870	-564,8240	-639,1866	-675,1768	-689,0523	-705,8355	-724,4106	-708,9653

В числителе указана величина радиального перемещения при , в знаменателе - при . Значения, приведенные в таблице 1, необходимо умножить на .