Стандартизация матриц элементов

Алгоритм вычислительной программы реализации метода конечных элементов

должен содержать проинтегрированные – стандартизованные – матрицы элементов базового каталога.

Интегрирование матриц элементов каталога, представляющих собой координатные ячейки, не вызывает затруднений, так как в этом случае оно ведется по независимым переменным . Благодаря этому интеграл по объему сводится к произведению трех однократных определенных интегралов, каждый из которых берется по одной из независимых переменных.

Для получения конкретного вида интегрируемой матрицы необходимо проделать следующие операции:

• найти конкретные выражения базисных функций всех узлов элемента, ис-

пользуя один из способов математического его описания (см. главу 4) в зави-

симости от типа элемента;

• пользуясь таблицей производных (cм. стр. 56), определить производные ба-

зисных функций по текущим переменным;

• подставить найденные конкретные функции в соответствующие элементы

матрицы и проинтегрировать их;

• свести в матрицу результаты интегрирования ее элементов.

Согласно (5.2.6) матрица теплоемкости любого элемента всегда симметрична и ее элементами, расположенными на главной и над главной диагональю матрицы, будут интегралы:

и , . (5.4.1)

соответственно; – число узлов элемента. Соотношение (5.4.1) может рассматриваться как тестовое для проверки правильности найденной ранее базисной функции.

Компоненты объемной части матрицы теплопроводности (5.2.1) в разных системах координат описываются следующими конкретными выражениями, полученными с помощью таблицы производных:

1) декартова система координат, ; все три компонента определяются интегралом общего вида:

; ; dV=dxdydz; (5.4.2)

2) цилиндрическая система координат, :

; ; (5.4.3)

; ;

3) сферическая система координат, :

; ;

; . (5.4.4)

Подставляя в (5.4.2)–(5.4.4) базисные функции и их производные для конкретного элемента каталога, последующим интегрированием находятся стандартизованные – программируемые сокращенные матрицы теплопроводности. Элементами стандартизованных матриц будут либо числа, либо функции координат элемента. В вычислительной программе значения этих координат берутся из таблицы входных данных. В качестве множителей перед стандартизованными матрицами стоят величины теплофизических коэффициентов из физического каталога.

Процедура нахождения стандартизованных матриц поверхностной части матрицы теплопроводности описана в п. 5.1.

Стандартизация объемной части вектора тепловой нагрузки (5.2.7) сводится к интегрированию базисных функций конкретного элемента каталога. Поверхностная его часть (5.2.8) находится так же, как и поверхностная часть матрицы теплопроводности, но при этом интегрируются поверхностные базисные функции, а не их произведения.