Гармония целочисленных отношений

Музыка и математика... Сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в пифагорейской «математе» именно музыке суждено было стать первым и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждавшим справедливость пифагорейского тезиса: «Все есть число». Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. В свою очередь, родство с арифметикой в пифагорейской «математе» обогатило музыку методами построения ее фундамента — музыкальной гаммы, фундамента, на котором и было возведено прекрасное здание искусства музыки. За два с половиной тысячелетия этот математический фундамент музыки, заложенный пифагорейцами, настолько глубоко «врос в землю», что о его существовании почти забыли. А ведь без него рухнуло бы все здание музыки. Но по порядку...

Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия — консонансы (от лат. consonantia — созвучие) — получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки, т. е. как , , . При этом также было замечено, что, чем меньше число n в отношении , тем созвучнее интервал. Это открытие потрясло Пифагора. Еще бы: ведь столь эфемерное физическое явление, как звук и тем более приятное созвучие, поддавалось числовой характеристике! Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии. Вот почему день, когда было сделано это открытие, немецкий физик А. Зоммерфельд назвал днем рождения математической физики.

Столь счастливый день, разумеется, был окружен ореолом красивых легенд. Вот как описывает его в «Трактате о музыке» римский философ и сенатор Северин Боэций (480 — 524): «И вот однажды, под влиянием какого-то божественного наития, проходя мимо кузницы, он слышит, что удары молотков из различных звуков образуют некое единое звучание. Тогда, пораженный, он подошел вплотную к тому, что долгое время искал, и после долгого размышления решил, что различие звуков обусловлено силами ударяющих, а для того, чтобы уяснить это лучше, велел кузнецам поменяться молотками. Однако выяснилось, что свойство звуков не заключено в мышцах людей и продолжает сопровождать молотки, поменявшиеся местами. Когда, следовательно, Пифагор это заметил, то исследовал вес молотков. Этих молотков было пять, причем обнаружилось, что один из них был вдвое больше другого и эти два отвечали друг другу соответственно созвучию октавы. Вес вдвое большего был на больше веса третьего, а именно того, с которым он звучал в кварту...»

Далее Боэций рассказывает, что Пифагор, придя домой, взял четыре одинаковые, вертикально подвешенные струны и нагрузил их тяжестями, относящимися как (т. е. как , , ). В итоге четвертая струна зазвучала на октаву выше первой, третья — на квинту выше первой, а вторая — на кварту. К сожалению, мы должны констатировать, что здесь Боэций заблуждался. Сегодня известно, что частота колебания струны (или высота тона, которая есть отражение в сознании частоты колебания звучащего тела) пропорциональна не натяжению, а корню квадратному из натяжения струны (см. с. 199). Поэтому, если уж Пифагор и проводил описываемые Боэцием опыты, то, чтобы получить, например, созвучие октавы, он должен был брать грузы не в отношении , а в отношении .

И тем не менее закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором верно. Просто он неверно был описан Боэцием. Скорее всего, Пифагор ставил эксперименты, не меняя натяжение струны с помощью различных грузов, а меняя длину струны на монохорде.

Монохорд (μονο-κορδον — однострунный) был одним из первых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Снизу струна поджималась передвижной подставкой. Таким образом, струна имела постоянное натяжение, но разную длину. Позднее под струной укрепили шкалу делений, которая позволяла точно отмерять звучащую часть струны. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд был слишком примитивным. Зато, снабженный шкалой делений струны, он стал прекрасным физическим прибором и учебным пособием для изучения законов звучащих тел.

Видимо, на монохорде и было впервые обнаружено, что струна, вдвое короче данной струны, звучит на октаву выше. Но полной ясности в том, каков физический смысл чисел n в отношении , определяющем консонанс, у древних долгое время не было.

Одни толковали их как силу натяжения струны, другие — как длину струны, третьи — как высоту тона, хотя никто не знал, что такое высота тона. Ясность в этом вопросе наступила, пожалуй, только после Архита, который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе ее натяжения (ведь один и тот же тон можно получить на струнах разной длины и разного натяжения), а в скорости ее движения, т. е. в скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня эту «скорость движения» мы называем частотой колебания струны. Далее Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине. Что касается истинной роли натяжения струны в высоте тона, то она была до конца выяснена лишь после «великой научной революции» XVI — XVII вв.

Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

1. Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число , т. е. как , , . При этом интервал тем созвучнее, чем меньше число n в отношении

2. Высота тона определяется частотой колебания струны ω, которая обратно пропорциональна длине струны l:

В дальнейшем нам потребуются некоторые понятия теории музыки. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков (ступеней звукоряда) некоторой музыкальной системы, расположенных начиная от основного звука (основного тона) в восходящем или нисходящем порядке. (Название «гамма» происходит от греческой буквы Γγ (гамма), которой в средние века обозначали крайний нижний тон звукоряда, а затем и весь звукоряд.) Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде, а интервальным коэффициентом двух тонов — отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте нижнего:

Интервальные коэффициенты (3.1.1) и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили латинские названия[49]:

октава

квинта

кварта

треугольное число 10

Звуки в музыкальной системе связаны между собой определенными зависимостями. Одни из них являются неустойчивыми и тяготеют к другим — устойчивым. В каждой музыкальной системе существует наиболее устойчивый, основной тон, именуемый тоникой, с которого начинается данная система. Помимо связей между отдельными тонами музыкальная система в целом имеет некую общую характеристику, называемую наклонением. Наклонений два — мажорное и минорное; первое как бы окрашено в светлые тона, а второе — в пасмурные, хотя эти оценки и весьма условны. Так мы приходим к краеугольному понятию всего музыкознания — понятию лада. Ладом называется приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых, и прежде всего от тоники, и имеющая определенный характер звучания — наклонение. Наиболее распространенные лады состоят из семи основных ступеней. Наконец, математическое выражение системы звуковысотных отношений (лада) называется музыкальным строем.

Пифагорейцев и интересовал прежде всего музыкальный строй, ибо, как свидетельствует Плутарх, «почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства ее должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии, и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы».

Исходя из закона целочисленных отношений для консонансов и учения о пропорциях, пифагорейцы блестяще справились с задачей математического построения различных музыкальных ладов, т. е. нашли их музыкальный строй. С тех пор четверка чисел 1, 2, 3, 4 — тетрада (τετράδιον), лежащая в основе закона консонансов (3.1.1), а значит, и всей теории музыки, была наделена пифагорейцами магическими свойствами и считалась ниспосланной людям богами: «Что такое Дельфийский оракул? Тетрада! Ведь она — гамма, по которой поют сирены». Пифагорейская клятва гласила: «Клянусь именем Тетрады, ниспосланной нашим душам. В ней источник и корни вечно цветущей природы».

Вслед за благозвучными интервалами — консонансами — пифагорейцы спешили увидеть тетраду в основе всего мироздания: четверка геометрических элементов — точка, линия, поверхность, тело (точке — «геометрическому атому» — соответствовала единица — «числовой атом»; линии — число 2, означавшее уход в бесконечность по прямой линии; поверхности — число 3, определяющее треугольник или плоскость двух измерений; телу — число 4 — пирамида, первое пирамидальное число, дающее представление о пространстве трех измерений); четверка физических элементов — земля, вода, огонь, воздух (это учение мы рассмотрим в п.4.3). Сумма чисел, образующих тетраду, составляла священную десятку и олицетворяла всю Вселенную.

Не стоит спешить упрекать пифагорейцев в числовой мистике. Гармония целочисленных отношений и сегодня поражает каждого, кто впервые открывает ее для себя. Что же говорить о пифагорейцах, которые на заре цивилизации стали боготворить числа, управляющие музыкой. «Это считается чем-то вроде суеверия древних греков. Но далеко ли ушел наш современный научный интерес к количественным отношениям? — спрашивает в своих знаменитых лекциях лауреат Нобелевской премии американский физик Ричард Фейнман. — Открытие Пифагора, помимо геометрии, было первым примером установления числовых связей в природе. Поистине, должно быть, было удивительно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть факты, которые описываются простыми числовыми отношениями».

Итак, гармония целочисленных отношений послужила первым «экспериментальным» подтверждением пифагорейской мысли о рациональном устройстве природы по точному математическому плану. Восторг пифагорейцев перед этим законом был безграничен. Пифагорейцы объявили, что «Все есть число» и распространили закон целочисленных музыкальных отношений всюду, где это представлялось возможным, в том числе и на строение Вселенной. О знаменитой пифагорейской «музыке сфер» мы расскажем в п.4.2, а сейчас нам предстоит увидеть, как с помощью закона целочисленных отношений и учения о пропорциях строилась пифагорейцами музыкальная гамма.