Неподвижной оси

Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. Эта точка движется по окружности радиусом h. Зададим движение точки M естественным способом. Начало отсчета криволинейной координаты S выберем в точке O, где окружность пересекается с неподвижной полуплоскостью (рис. 5.4). Тогда Ð OCM = j и уравнение движения точки M примет вид:

. (5.11)

Введем естественную координатную систему t Mn, орты осей и воспользуемся полученными в 4-й лекции соотношениями.

Скорость точки М:

, (5.12)

ее модуль:

. (5.13)

Ускорение точки М имеет касательную и нормальную составляющие:

. (5.14)

Касательное ускорение

, (5.15)

его модуль

. (5.16)

Нормальное ускорение

, (5.17)

его модуль

. (5.18)

Модуль ускорения точки М

. (5.19)

Угол g между вектором ускорения и осью n определим из соотношения:

. (5.20)

Так как угловая скорость и угловое ускорение характеризуют движение тела в целом, из формул (5.12)-(5.20) следует, что скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения, а углы g в каждый момент времени одинаковы для всех точек.

Введем в рассмотрение векторы угловой скорости , углового ускорения и радиус-вектор точки M (см. рис. 5.4). Тогда вектор скорости может быть представлен векторным произведением

. (5.21)

Это соотношение имеет название формулы Эйлера.

Легко убедиться в справедливости формулы (5.21). Действительно, правило векторного произведения показывает, что направление вектора совпадает с направлением вектора (см. рис. 5.4). Его модуль:

Продифференцируем формулу Эйлера по времени:

или

. (5.22)

Покажем, что две составляющие ускорения точки в формуле (5.22) являются касательным и нормальным ускорениями:

; (5.23)

. (5.24)

Совпадение направлений векторов в левой и правой частях равенств (5.23), (5.24) проверяют по правилу векторного произведения. Их модули:

;

Пример. Груз 1 подвешен на нити, намотанной на барабан лебедки радиусом = 0,1 м (рис. 5.5). С барабаном жестко соединена шестерня 2 радиусом = 0,15 м, которая находится в зацеплении с шестерней 3 радиусом = 0,12 м.

Определить скорость и ускорение точки М шестерни 3, находящейся на расстоянии = 0,08 м от оси вращения в момент времени t = 0,2 с, если груз 1 движется по закону (м).

Найдем модуль скорости груза 1: . Такую же скорость имеют все точки обода барабана, поэтому модуль его угловой скорости . Скорость точки касания колес 2 и 3 , откуда определим модуль угловой скорости шестерни 3