Анализ при помощи характеристик вариационных рядов

Лекция 2

Удобным показателем является также коэффициент вариации V в процентах. Он показывает, какую часть составляет среднее квадратическое отклонение — фактор рассеивания — от средней арифметической. Находится он по формуле:

V= (12)

Выражение коэффициента в процентах позволяет сравнивать между собой разноименные показатели, что очень удобно на практике.

Кроме того, по аналогии с биологическими исследованиями, принято считать, что группа показателей, коэффициент вариации которых не превышает 10—15%, представляет собой стабильные измерения, мало отличающиеся друг от друга, однородные и однотипные. Если же коэффициент вариации больше 10—15%. группа рассеяна неоднородна.

В спортивных исследованиях применение интервала 10—15% для определения однородности объектов является весьма условным. Здесь само понятие «однородность» или «неоднородность» объектов содержит различный смысл в зависимости от того, какие объекты исследуются. Не надо приводить специальных расчетов, чтобы убедиться, например, в существенном различии между результатами спортсменов высших и низших разрядов. Понятно, что результаты спортсменов высших разрядов должны быть более однородны и стабильны, чем результаты спортсменов низших разрядов. Следовательно, в первом случае коэффициент вариации должен быть значительно ниже, чем во втором. Таким образом, результаты спортсменов одной и той же спортивной специализации, но разных разрядов, следует оценивать по различным значениям коэффициента вариации.

Коэффициенты вариации будут различны и в тех случаях, когда рассматриваются результаты спортсменов разных спортивных специализаций. Для оценки медицинских, физиологических, организационных, педагогических и прочих показателей коэффициенты вариации должны быть различными. Из этого следует, что в спортивных исследованиях коэффициент вариации в каждом конкретном случае должен иметь свой собственный предел как показатель однородности рассматриваемых объектов. Однако таких значений пределов пока что нет, так как подобные исследования и расчеты еще не проводились.

Есть еще несколько весьма простых показателей вариации—мода (Мо) и медиана (Ме).

Медиана (Ме) есть вариант, который делит вариационный ряд пополам. Для нахождения медианы вводится понятие накопленных частот (m_i). Рассмотрим это на примере 2 (табл. 18).

Под накопленными частотами подразумеваются суммы частот, получаемые от последовательного сложения. Так, в примере 2 спортсменов, показавших время восстановления пульса, не превышающее значение первого варианта 74 с, было 4; не превышающее 78 с, было 10 (4 показали 74 с и 6—78 с), не превышающее 81 с — 19 человек и т.д. Последняя накопленная частота должна соответствовать, естественно, объему совокупности.

Таблица 18

xi	ni	mi
	n=34

Общее количество объектов, рассматриваемых в данном примере, было n=34. Объекты, стоящие по середине ряда, будут по номеру 17-й и 18-й. По накопленным частотам определяем варианты, соответствующие 17-му и 18-му объектам. В данном случае как 17-й, так и 18-й объекты находятся в третьей строке, так как накопленная частота 19 содержит в себе 17-й и 18-й объекты. Ей соответствующий вариант 81 с и есть медиана.

Если окажется, что один из объектов, стоящих по середине ряда, принадлежит одной строке, а другой — следующей строке, медиана определяется как средняя арифметическая между обоими вариантами.

В случае, если объем совокупности представляет собой нечетное число, вариант, стоящий по середине ряда, будет один. Например, при n==17. таким вариантом должен быть 9-й объект, при n=23— 11-й и т. д. В этом случае медиана определяется так же, как и в случае четного объема совокупности.

В примере 3 (табл. 19),

Таблица 19

xi	ni	mi
	n=12

Варианты, стоящие по середине ряда, есть 6-й и 7-й. 6-й и 7-й объекты находятся в третьей строке. Им соответствующий вариант 94 очка есть медиана этого ряда.

В примере 4 (табл. 20).

Таблица 20

xi	ni	mi
	n=26

В этом примере варианты, стоящие по середине ряда, есть 13-й и 14-й. 13-й объект находится в 6-й строке и ему соответствует вариант 7 бросков, а 14-й объект находится в 7-й строке — ему соответствует вариант 8 бросков. Медиана находится как средняя арифметическая этих двух вариантов:

Me = =7,5 броска.

Еще один показатель вариации — мода (Мо). Это вариант, наиболее часто встречаемый в вариационном ряду. Для его определения не требуется специальных вычислений. Достаточно найти среди частот наибольшую — соответствующий ей вариант есть мода.

Так, в примере 2 наибольшая частота — 11. Соответствующий ей вариант 84 с является модой.

В примере 3 — при наибольшей частоте 5 мода есть 94 очка.

В примере 4 модой является 9.

Кроме своей общей наглядности, мода и медиана позволяют прикинуть степень неоднородности группы чисел, хотя и менее точно. Для этого необходимо их сравнить со средней арифметической. Если различие невелико, группа, по-видимому, однородна. Если же различие значительно, вариационный ряд будет неоднородным.

На практике обычно все вычисления вариационного ряда (определение средней арифметической, среднего линейного отклонения, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации, моды и медианы) сводят в одну таблицу. Это дает возможность компактно провести вычисления и получить одновременно основные характеристики вариационного ряда.

Так, пример 2 имеет такое решение (табл. 21):

Таблица 21

xi	ni	xini	xi-	|xi- |	|xi- |ni	(xi- )2	(xi- )2ni	mi
			-7
			-3
8 4			+3
			+4
			+9
	n=34

Характеристика ряда: (81 + 2,9) или (81±3,6) с; V= 4,5%; Мо=84 с; Ме=81 с.

В практике спортивных исследований при образовании вариационных рядов часто возникают затруднения, связанные с тем, что один или несколько вариантов оказываются резко отличительными от остальных. В этом случае возникает естественный вопрос: чем вызвано такое различие? Означает ли это, что исследователь ошибся и провел неверные измерения или такое отличие указывает на какую-то скрытую закономерность исследуемых объектов. Понятно, что в первом случае от таких измерений следует избавляться и дальнейший расчет проводить без них, во втором случае к ним следует отнестись с полным вниманием.

Для определения этого существует такое приближенное правило:

1) следует вычислить среднюю арифметическую (х) и среднее квадратическое отклонение (s) без варианта, который резко отличается от остальных;

2) вычислить величину (х±4s);

3) если сомнительный вариант выходит за пределы (х±4s), его следует исключить из дальнейших расчетов. В противном случае он не случаен и подлежит дальнейшим исследованиям.

Таким образом, для определения пригодности резко отличающихся вариантов можно пользоваться формулой:

(х—4s)<А<(х+4s), (13)

где А—величина сомнительного варианта;

х, s—средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение, вычисленные без учета сомнительного варианта.

Иногда в формуле (13) вместо 4s употребляют Rz, где R есть так называемый размах вариации, равный R=x_mах—x_min, т. е. разности максимального и минимального вариантов, а г есть величина, зависящая от объема совокупности n и определяемая по табл. 22.

Таблица 22

			8—9	10—11	12—15	16—22	23—25	26—23	64—150
1,7	1.6	1,5	1.4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8

Таким образом, сомнительный вариант остается в ряду, если его значение не выходит за пределы:

(х—Rz)<А<(x+Rz) (14,)

Пример 8. При измерении угла в коленном суставе ноги, стоящей на задней колодке, в стартовом положении у 20 спортсменов получили величины (х_і) от 100° до 140°. При этом только одно измерение составило 140°. Остальные—от 100° до 120°. Следует ли измерение 140° исключить из дальнейших расчетов?

Расчет средней арифметической и среднего квадратического отклонения производим в форме таблицы (табл. 23). При этом сомнительный вариант 140° не учитываем:

Таблица 23

xi	ni	xini	xi-	(xi- )2	(xi- )2ni
			—11 —1 +4 +9
	N=20

Отсюда ± 4s = 111±29°.

Таким образом, сомнительный вариант 140° не должен выходить за пределы от 111°—29°=82° до 111°+ +29°= 140°. Вариант 140°, как показывает расчет, представляет собой предельное значение допустимого.

Проверим этот же расчет по формуле (14). Здесь Rесть величина размаха R=120°—100°=20⁰. Находим из табл. 23 для n=19, 2=1,1. Тогда сомнительный вариант не должен выходить за пределы; х±Rz=111⁰±20⁰•1,1= =111°±22⁰.

Следовательно вариант 140° не должен выходить за пределы от 111°—22° ==89° до 111⁰+22⁰=133⁰. Поскольку он больше верхнего предела 133°, то его следует исключить из дальнейших расчетов. Как видно из примера, более точный расчет полу­чается по формуле (14).

При помощи характеристик вариационных рядов можно решать множество спортивных задач. Наиболее популярные из них: анализирующие, разделяющие, нормативные и сравнительные.

Рассмотрим это подробно.

Анализ при помощи характеристик вариационных рядов

При помощи характеристик вариационных рядов можно провести анализ какого-либо процесса, необходимый для управления тренировкой.

Такая работа не претендует, конечно, на полноту картины в целом. Ее следует рассматривать как общий, схематичный, первичный этап исследования. Существуют другие аналитические методы, дающие более точное представление о существе дела. Тем не менее анализ при помощи характеристик вариационных рядов имеет свои преимущества: он достаточно прост в исполнении, нагляден и корректен.

Как было отмечено выше, параметры вариационных рядов могут дать характеристику любому процессу или явлению, выраженному рядом чисел. Так, например, любой тест, определенный собранным статистическим материалом, в первую очередь подвергается анализу при помощи характеристик вариационного ряда.

Рассмотрим это на конкретном примере.

В некоторых тестах для определения пригодности спортсменов к бегу на средние дистанции исследуют разность между временем бега на 800 м, деленным на 8, и временем бега на 100 м. Считается, что чем меньше эта разность во времени, тем спортсмен более пригоден к бегу на средние дистанции. Ориентируются в этих случаях на разность во времени, равную 4,5—5 с, если разность более 5 с, то спортсмена считают мало пригодным к этому виду бега.

Пример 9. В течение серии тренировок спортсмен показал такую разность между временем бега на 800 м, Деленным на 8, и временем бега на 100 м х_i (в секундах)

Таблица 24

xi	ni	xini	xi-	(xi- )2	(xi- )2ni	mi
6,00 5,00		42,00 20,00 ^и,ци	+1,00	1.00	7,00
4,50 3,80		9,00 11,40	-0,50 —1,20	0,25 1,44	0,50 4,32
3,50		3,50	—1,50	2,25	2,25
	n =17	85,90			14,07

В форме таблицы находим характеристики вариационных рядов (табл. 24).

Таким образом, данная группа чисел характеризуется ( ±s)=(5 с±0,905 с); Мо=6с; Ме=5 с; V==18,1%.

При наличии этих данных можно сказать, что спортсмен, учитывая вышеприведенный тест, мало пригоден к бегу на средние дистанции, так как средняя разность в беге, составляющая 5 с, является предельным значением для определения его пригодности к данному виду спорта. Кроме того, очень высокий коэффициент вариации V=18,1% свидетельствует о нестабильности результатов. Это же подтверждает и большое различие между средней арифметической х=5 с и модой Мо=6 с.

Отклонение от среднего значения доходит у спортсмена до s =0,905 с, то есть в худшем случае разность во времени составит 5 с+0,905 с=5,905 с»с, что выходит за пределы описанного теста.

Подобный анализ можно совершить и в других случаях, не только в тестах, и, пользуясь его выводами, производить корректировку или прогноз деятельности спортсмена.