ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение. Линейным пространством L = {a,b,c,…} называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .
(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)
Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1. a + b = b + a (коммутативность сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).
3. .
4.
5. 1 ·а = а.
6.
7. (α + β)а = αа + βа (дистрибутивность).
8. α(а + b) = αa + αb (дистрибутивность).
Перечисленные свойства, обычно, называют аксиомами. Имеют место теоремы:
Теорема 1. Нулевой элемент – единственен.
{От противного: 01,02; 01+02=01 и 02+01=02 (акс. (3)). Из акс.(1) следует: 01=02}
Теорема 2. противоположный элемент – единственен.
{Пусть для }
Теорема 3. 0 ·а = 0.
{ }
Теорема 4.
{ }