2015-10-22
468
Возьмём уравнение 
, преобразуем его к виду, удобному для итерации 
. Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция 
называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: 
.
Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой 
- окрестности корня 
функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству 
, где 
- постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится
со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности: 
, 
.
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности 
>0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство 
. Если величина 
, то можно использовать более простой критерий окончания итераций: 
.
Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду 
. Предположим дополнительно, что производная 
знакопостоянна и 
на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра 
метод сходится и значение
.
