Если и дифференцируемые функции, то справедлива формула
которая называется «формулой интегрирования по частям».
Типичные интегралы, которые вычисляются по этой формуле, следующие.
1. и , где многочлен степени n. Целесообразно положить оставшуюся часть принять за .
Пример 1. Найти интеграл
Решение.
Пример 2. Найти интеграл
Решение.
Из этих примеров видно, что интегрирование по частям можно применять несколько раз.
2. ; и т.п.
Здесь полагаем (или , или ).
Пример 3. Найти интеграл
Решение.
Метод подстановки
Справедливо равенство , где –дифференцируемая функция. После вычислений интеграла надо сделать обратную подстановку . Конечно, этим методом целесообразно пользоваться, если после подстановки интеграл упрощается.
Пример 1. Найти интеграл
Решение.
Выбор подстановки требует определенного опыта и искусства, но для некоторых классов функций можно дать рекомендации.
1.Интегрирование линейных иррациональностей
где R – рациональная функция своих аргументов. Интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби подстановкой где
|
|
Пример 2. Найти интеграл
Решение.
2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида , , приводятся к интегралам от рациональной функции относительно с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла , для второго и для третьего .
Пример 3. Найти интеграл
Решение.
Пример 4. Найти интеграл
Решение.
.
3. Универсальная тригонометрическая подстановка
Под интегралом имеем рациональное выражение относительно и . Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В этом случае:
Пример 5. Найти интеграл
Решение.