Если дано линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
,
правая часть которого является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида , , …, (т.е. решение задачи Коши, поставленной для этого уравнения, с начальными условиями при ), служит оригиналом. Обозначая изображение этого решения через , находим изображение левой части исходного дифференциального уравнения и, приравнивая его изображению функции , приходим к так называемому изображающему уравнению, которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно . Определив из этого уравнения , находим оригинал .
Тот же метод перехода к изображающему уравнению позволяет легко найти решение интегральных уравнений вида
, ,
В которых функции и являются оригиналами, поскольку входящий в эти уравнения интеграл является сверткой функций и .
Эти интегральные уравнения являются частным случаем интегральных уравнений Вольтера первого и второго рода, общий вид которых получается, если заменить функцию (ее называют ядром интегрального уравнения) некоторой функцией двух аргументов .
|
|
Решение примеров
Пример 1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 5 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 3 мужчины.
Решение: Число всех способов выбора 5 человек из 25 равно ,а число способов выбора двух женщин из 5 равно . Каждая такая двойка может сочетаться с каждой тройкой из 20 мужчин. Число таких троек равно . Искомая вероятность составляет
Р= = .
Пример 2. Слово «лотос», составленное из букв-кубиков, рассыпано на отдельные буквы, которые затем сложены в коробке. Из коробки наугад извлекают одну за другой три буквы. Какова вероятность того, что при этом появится слово «сто»?
Решение: Вероятность появления буквы «с» равна 1/5. Вероятность появления вслед за ней буквы «т» равна 1/4, и, наконец, вероятность появления буквы «о» равна 2/3.
Искомая вероятность Р = = 33.
Пример 3. Случайно встреченное лицо с вероятностью 0,2может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 — блондином, с вероятностью 0,4 — шатеном и с вероятностью 0,1 — рыжим. Каковая вероятность того, что среди пяти случайно встреченных лиц: а) не менее четырех блондинов; б) два блондина и три шатена; в) хотя бы один рыжий?
Решение:
а) Искомая вероятность составляет [см. формулу (1)]
P=P5(4)+P5(5)= =0,03078.
б) Искомая вероятность P=P5(2) P5(3)= ,07.
в) Искомая вероятность P=1-P5(0)=1- =1-0,6561=0,3439.
Пример 4. Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность того, что шестерка при этом выпадет 50 раз?
|
|
Решение: Здесь n = 500; k = 50; р = 1/6; q = 5/6;
x= По формуле (2) находим искомую вероятность:
P500(50)=
Пример 5. Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 400 покупателей не более 100 потребуют обувь этого размера.
Решение: По условию, n=400; p= 0,2; q=0,8; k1=0; k2=100;
x1=
Согласно формуле (3), искомая вероятность есть
P400(0;400)=Ф(2,5)- Ф(-10)= Ф(2,5)+ Ф(10)=0,49379+0,5=0,99379.
Пример 6. Непрерывная случайная величина X распределена нормально. Известно, что D(х)=4 и Р(х<1) = 0,5. Найти Р(х>0).
Решение: По формуле (4) получим Р(х>0)= Р(0<х<+ )= Ф( )- Ф( )= Ф ( )- Ф( ).
Найдем а. Имеем Р(х<1)=Р(- <х<0)= Ф( )- Ф(- )= Ф( )+0,5
откуда Ф( )+0,5=0,5=> Ф( )=0,5 => =>a=1
Окончательно находим Р(х>0)= Ф ( )- Ф( )=0,5+Ф ( )=0,5+0191462=0,691462.
Пример 7. Дифференцируема ли функция ?
Находим , , , , , . Одно из условий Коши-Римана не выполняется. Таким образом, данная функция не является дифференцируемой.
Пример 8. Дифференцируема ли функция ?
Имеем , ; , , , ; , . Условия Коши-Римана выполняются. Следовательно, функция дифференцируема. Так как , то
.
Производную можно найти и иначе:
, .
Пример 9. Является ли дифференцируемой функция ?
Находим , ; , , , ; , . Условия Коши-Римана выполнены. Далее, имеем
, или иначе
, .
Пример 10. ;
Пример 11. Решить дифференциальное уравнение , если , .
Переходим к изображениям:
,
или
; .
Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:
,
.
Полагая , получаем , т.е. ; при имеем , т.е. . Сравнивая коэффициенты при , получим , т.е. . Следовательно,
,
откуда
.
Пример 12. Решить уравнение , если , .
Переходим к изображениям:
.
После несложных преобразований получим
.
Отсюда .
Пример 13. Решить систему уравнений.
,
Если , .
Перейдя к изображениям, имеем
Решив эту систему относительно и , получаем
, .
Для определения воспользуемся второй теоремой разложения и формулой:
, , ,
, , ;
, , .
Таким образом, . Аналогично находим .