Определение точки пересечения прямой общего

положения с плоскостью (к задаче №3)

План:

1. Заключить прямую в проецирующую плоскость;

2. Найти линию пересечения двух плоскостей (заданной и проецирующей);

3. Найти точку пересечения прямой с плоскостью (общая точка построенной линии пересечения с заданной прямой есть (×) пересечения этой прямой с плоскостью).

4. Определить видимость.

Рассмотрим этапы решения этой задачи.

1. Заключить прямую:

а) в горизонтально проецирующую плоскость (рис. 11): АВ Ì Р^П₁

CD Ì Q^П₂

Рис. 11 Рис. 12

б) во фронтально проецирующую плоскость (рис.12).

2. Построить линию пересечения двух плоскостей, одна из которых общего положения, а другая - проецирующая (рис.13,14).

Рис. 13 Рис. 14

lÌP^П₂ lÌQ^П₁

АВСÇP=1,2(1₂2₂®1­₁2₂) a (m||n)ÇQ=3,4(3₁4₁®3₂4₂)

Определение видимости. Метод конкурирующих точек

Рис. 15 Рис. 16

Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче (рис. 15), проекции на одной из плоскостей проекции совпадают (А₁ºВ₁; С₂ºD₂), а на другой проекции они распадаются на две отдельные (А₂;В₂), (С₂;D₂) (рис.16). Из двух совпавших на одной из проекций точек, принадлежащих разным геометрическим элементам, на проекции видна та, у которой другая проекция расположена дальше от оси Х.

На рис.16 видно, что

Z_A>Z_B ® (×) A₁ на проекции видима, а (×) В­₁ – невидима;

y_C>y_D ® (×) C₂ на проекции видима, а (×) D₂ - невидима.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи (рис.17).

Точке пересечения фронтальных проекций прямых соответствуют две точки Е и F, из которых одна принадлежит прямой а, другая - прямой b. Их фронтальные проекции совпадают, т.к. в пространстве обе точки Е и F находятся на общем перпендикуляре к плоскости П₂. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой (рис. 17), позволяет установить, какая из двух точек ближе к зрителю.

В нашем случае - это точка Е, лежащая на прямой b. Следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а (y_E>y_F ® b₂ - впереди, а₂ - за ней).

Точке пересечения горизонтальных проекций соответствуют две точки К и L, расположенные на разных прямых. Фронтальная проекция дает ответ на вопрос о том, какая из двух точек выше. Как видно из чертежа точка К₂ выше L₂. Следовательно, прямая а проходит выше прямой b.

Решаем задачу в целом (рис. 18).

1. lÌP^П₂;

2. АВСÇP=1,2(1₂2₂®1₁2₁);

3. lÇ1,2=(K₁®K₂);

4. Определим видимость.

X

Рис. 18

Перпендикулярность прямой и плоскости ( к задаче №4)

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. В плоскости проводят две такие прямые (горизонталь и фронталь), к которым можно построить перпендикуляр.