Проверка однородности наблюдений

Если результаты наблюдений содержат одно или несколько значений, сильно отличающихся от среднего значения, то возникает задача оценить, являются ли эти результаты следствием грубой ошибки или они оправданы случайным характером распределения ошибок. Поскольку наличие грубых ошибок может исказить оценки параметров распределения, то выскакивающие значения должны быть выявлены и исключены из дальнейшей статистической обработки. Эта задача называется проверкой однородности наблюдений, и для её решения предложено несколько методов.

Экстремальное х _э (максимальное или минимальное) значение можно исключить из выборки x ₁, x ₁, …, x _n как выскакивающее значение (грубое измерение), если выполняется неравенство

Здесь - среднее значение, s – выборочный стандарт, n – объём выборки, v _a - табличное значение критерия, зависящее от объёма выборки n и заданного уровня значимости a (Приложение З).

Другой способ отсеивания выскакивающих значений, не требующий предварительного вычисления среднего значения, основан на оценке различий крайних значений упорядоченной выборки, под которой понимают расположенные в возрастающем порядке результаты отдельных наблюдений, т.е. .

Для оценки возможного исключения минимального значения x ₁ вычисляют отношение

Полученное значение сравнивают с граничными значениями, взятыми из таблицы (Приложение З) для двух уровней значимости: 0,05 и 0,01. Если оно превышает табличное значение w _0,01, то крайнее значение x ₁ является следствием грубой ошибки и его можно исключить. Если вычисленное значение w меньше табличного значения w _0,05 для уровня значимости a=0,05, то наименьшее значение x ₁ должно быть оставлено. В том случае, когда это отношение лежит между граничными значениями, т.е. , то для решения вопроса об отбрасывания крайнего значения необходимы дополнительные исследования.

Аналогично оценивается возможность отбрасывания наибольшего значения x _n, но в этом случае величина w будет равна

Если выскакивающими значениями являются два или три элемента выборки, то проверку однородности проводят последовательно.

Пример 1.12. При прокатке шести опытных партий металла были получены следующие значения выхода годного (%): 87, 86, 77, 87, 88, 85. Проверить, не является ли минимальное значение выхода годного, равное 77%, выскакивающим значением.

Решение.

Сначала определяем среднее арифметическое значение и выборочный стандарт

Вычисляем критерий v для сомнительного третьего элемента

По таблице (Приложение З) для уровня значимости a=0,05 и объёма выборки n = 6 находим v _0,05 = 2,00. Поскольку v = 2,23 > v _0,05 = 2,00, то с вероятностью 95% значение выхода годного следует признать ошибочным и исключить из выборки. После чего необходимо заново пересчитать значения и s.

Аналогичные результаты дает применение отношения w, для чего надо расположить значения выхода годного в порядке их возрастания: 77, 85, 86, 87, 88%. Затем вычисляем w для наименьшего значения, равного 77%

По таблице (Приложение З) для уровня значимости a=0,01 и объёма выборки n = 6 находим w _0,01 = 0,698. Так как w = 0,727 > w _0,01 = 0,698, то наименьшее значение выхода годного является следствием грубой ошибки и его следует исключить.