2017-12-14
1778
При обработке опытных данных приходится решать вопрос о подборе такой теоретической кривой распределения, которая отражала бы наиболее существенные черты дано статистического ряда, но не случайных отклонений, связанных с недостаточным объёмом данных. Задача выравнивания (сглаживания) статистического ряда состоит в подборе теоретической плавной кривой распределения, которая наилучшим образом соответствует некоторому заданному критерию. Например, если исследуемая случайная величина Х есть ошибка измерения, то обычно принимают нормальный закон её распределения; тогда задача выравнивания сводится к отысканию параметров а и s.
Пример 1.13. На рис. 1.8 приведена гистограмма ежесуточного выпуска поковок, вид которой показывает возможность её описания с помощью нормального закона. Требуется построить график функции распределения и кривую плотности вероятности.
Решение.
Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием а и средним квадратичным отклонением s. Выберем эти параметры так, чтобы выполнялись равенства
|
|
|
Подставляя численные значения, получим
Тогда выражение для нормального закона примет следующий вид:
Задавая значения u = m/h на границах интервалов по таблицам (Приложение Б) находим значения функции j(u) и вычисляем значения f(m/h):
| m/h | 3,08 | ||||||||
| F | 0,029 | 0,100 | 0,207 | 0,272 | 0,273 | 0,224 | 0,117 | 0,037 | 0,007 |
| F | 0,017 | 0,078 | 0,230 | 0,479 | 0,500 | 0,736 | 0,905 | 0,978 | 0,996 |
Значения функции распределения F определяли через функцию Лапласа с помощью таблиц (Приложение Б), Из рисунков 1.8 и 19 видно, что теоретические кривые достаточно хорошо соответствуют опытным данным.
Пусть данное статистическое распределение сглажено с помощью некоторой теоретической кривой f(х). Возникает вопрос о соответствии теоретического и эмпирического распределений. Одним из наиболее часто применяемых способов оценки близости двух распределений является критерий c 2 (критерий Пирсона). В основе этого способа лежит то, что сумма квадратов разностей между теоретическими pi и эмпирическими ni/n значениями плотности распределения, является величиной, распределенной по c 2-распределению с f степенями свободы:
где k – число интервалов, на которые разбит диапазон изменения случайной величины; n – объём выборки.
Число степеней свободы f распределения c 2 равно f = k – l, где l - число связей, наложенное на частоты ni/n. Одной из связей всегда является очевидное требование – сумма частот рана единице 
На частоты могут быть также наложены, вытекающие из условий равенства средних значений и дисперсий для теоретического и эмпирического распределений.
|
|
|
Практическое применение критерия Пирсона сводится к следующему:
1) вычисляется мера расхождения c 2 между двумя распределениями,
2) определяется число степеней свободы f,
3) по таблице (Приложение Е) находится вероятность Р того, что величина, имеющая распределение c 2 с f степенями свободы, превзойдет данное значение (c 2)р;
4) если эта вероятность мала, то гипотеза о согласованности теоретического и эмпирического распределений отбрасывается как неправдоподобная; если вероятность достаточно велика, то гипотеза не противоречит опытным данным.
На практике поступают по-другому:
1) задают значение уровня значимости a и по таблице находят для заданного числа степеней свободы f находят значение (c 2)a;
2) затем сравнивают вычисленное c 2 и табличное (c 2)a значения, при этом считают гипотезу правильной при c 2 < (c 2)a и не соответствующей опытным данным в противном случае.
При использовании критерия Пирсона желательно, чтобы число опытов было достаточно велико (не менее 100), а количество элементов в каждом разряде – не менее 5.
Кроме критерия Пирсона на практике применяют и другие критерии согласия, из которых чаще всего используют критерий Колмогорова. В качестве меры расхождения в данном критерии применяется максимальное абсолютное отклонение эмпирической функции распределения Fn(x) от соответствующей теоретической функции распределения F(x).
Применение критерия Колмогорова сводится к следующему:
1) находят величину d = max| Fn(x) - F(x) |;
2) вычисляют параметр 
;
3) сравнивают вычисленное значение l с табличным значением la для принятого уровня значимости a.
Если вычисленное значение меньше табличного значения, т.е. при l < la, то гипотеза о совпадении эмпирического и теоретического распределений считается справедливой. В противном случае эта гипотеза отклоняется или считается сомнительной. Уровень значимости обычно выбирается равным a = 0,2…0,3, чему соответствует значение la @ 1.
Критерий Колмогорова может быть также применен для оценки близости двух эмпирических распределений Fn1(x) и Fn2(x). В этом случае параметр l вычисляется по формуле
где d = max| Fn1(x) - Fn2(x) | - максимальная абсолютная разность между эмпирическими функциями распределения.
Пример 1.14. Проверить соответствие теоретического и эмпирического распределений для предыдущего примера.
Решение.
Поскольку при использовании критерия c 2 число наблюдений в каждом интервале должна быть не менее 5, то необходимо объединить два первых интервала и три последних интервала. После чего составляем сравнительную таблицу чисел наблюдений в интервалах ni и соответствующих значений n·pi
| m/h | 0…2 | 2…3 | 3…4 | 4…7 |
| ni | 7.5 | 8.5 | ||
| n·pi | 8.3 | 8.9 | 9.2 | 9.5 |
Вероятность pi попадания наблюдений в i- тый интервал вычисляются как разность значений теоретической функции нормального распределения F на границах соответствующего интервала. Значения F берем из предыдущего примера. Определяем меру расхождения
Затем по таблице (Приложение Е) для числа степеней свободы f = 4 – 3 = 1 находим путем линейной интерполяции, что при c 2 = 0,56 искомая вероятность приблизительно равна Р @ 0,46. Эта вероятность не является малой; поэтому, учитывая сравнительно небольшое число наблюдений и большой разброс опытных данных. гипотезу о нормальном законе распределения ежемесячного выпуска поковок можно считать правдоподобной.
Применим к исследуемому распределению критерий Колмогорова. Для этого надо вычислить абсолютные разности | Fn(x) - F(x) | и выбрать среди них наибольшую. Анализ табличных данных, приведенных в примерах 6 и 12, показывает, что в нашем примере d = 0,02. После этого вычисляем параметр 
Поскольку это значение значительно ниже la @ 1, можно утверждать, что существенных расхождений между эмпирическим и теоретическим (нормальным) распределением нет.
|
|
|
Приложение Б
Значения нормированной функции Лапласа 
и плотности нормированного нормального распределения 
от квантиля u
| u | Ф(u) | j(u) | u | Ф(z) | j(u) |
| 0,00 | 0,0000 | 0,3989 | 1,0 | 0,3413 | 0,2420 |
| 0,05 | 0,0199 | 0,3984 | 1,1 | 0,3643 | 0,2179 |
| 0,10 | 0,0398 | 0,3970 | 1,2 | 0,3849 | 0,1942 |
| 0,15 | 0,05962 | 0,3945 | 1,3 | 0,4032 | 0,1714 |
| 0,20 | 0,07926 | 0,3910 | 1,4 | 0,4192 | 0,1497 |
| 0,25 | 0,0987 | 0.3867 | 1,5 | 0,4331 | 0.1295 |
| 0,30 | 0,1179 | 0,3814 | 1,6 | 0,4452 | 0,1109 |
| 0,35 | 0,1368 | 0,3752 | 1,7 | 0,4554 | 0,090 |
| 0,40 | 0,1554 | 0,3683 | 1,8 | 0,4640 | 0,0790 |
| 0,45 | 0,1736 | 0,3605 | 1,9 | 0,4712 | 0,0656 |
| 0,50 | 0,1914 | 0,3521 | 2,0 | 0,4772 | 0,0540 |
| 0,55 | 0,2088 | 0,3429 | 2,2 | 0,4861 | 0,0355 |
| 0,60 | 0,2257 | 0,3332 | 2,4 | 0,4918 | 0,0224 |
| 0,65 | 0,2421 | 0,3230 | 2,6 | 0,4953 | 0,0136 |
| 0,70 | 0,2580 | 0,3123 | 2,8 | 0,4974 | 0,0079 |
| 0,75 | 0,2734 | 0,3010 | 3,0 | 0,4986 | 0,0044 |
| 0,80 | 0,2881 | 0,2897 | 3,2 | 0,4993 | 0,0024 |
| 0,85 | 0,3023 | 0,2780 | 3,4 | 0,4996 | 0,0012 |
| 0,90 | 0,3159 | 0,2661 | 3,6 | 0,4998 | 0,0006 |
| 0,95 | 0,3289 | 0,2541 | µ | 0,5 |
Приложение В
Квантили нормального распределения u P, при которых случайная величина принимает значение Р
| Р | u q | Р | u q | Р | u q |
| 0,50 | 0,0000 | 0,70 | 0,5244 | 0,90 | 1,293 |
| 0,51 | 0,0250 | 0,71 | 0,5534 | 0,91 | 1,353 |
| 0,52 | 0,0501 | 0,72 | 0,5828 | 0,92 | 1,419 |
| 0,53 | 0,0752 | 0,73 | 0,6128 | 0,93 | 1,491 |
| 0,54 | 0,1004 | 0,74 | 0,6433 | 0,94 | 1,572 |
| 0,55 | 0,1257 | 0,75 | 0,6808 | 0,95 | 1,665 |
| 0,56 | 0,1510 | 0,76 | 0,7128 | 0,96 | 1,751 |
| 0,57 | 0,1764 | 0,77 | 0,7454 | 0,97 | 1,881 |
| 0,58 | 0,2019 | 0,78 | 0,7790 | 0,98 | 2,054 |
| 0,59 | 0,2275 | 0,79 | 0,8134 | 0,99 | 2,326 |
| 0,60 | 0,2533 | 0,80 | 0,8488 | 0,991 | 2,365 |
| 0,61 | 0,2793 | 0,81 | 0,8853 | 0,992 | 2,409 |
| 0,62 | 0,3055 | 0,82 | 0,9230 | 0,993 | 2,457 |
| 0,63 | 0,3319 | 0,83 | 0,9621 | 0,994 | 2,512 |
| 0,64 | 0,3585 | 0,84 | 1,0030 | 0,995 | 2,576 |
| 0,65 | 0,3953 | 0,85 | 1,0450 | 0,996 | 2,652 |
| 0,66 | 0,4125 | 0,86 | 1,0890 | 0,997 | 2,748 |
| 0,67 | 0,4399 | 0,87 | 1,1360 | 0,998 | 2,878 |
| 0,68 | 0,4677 | 0,88 | 1,1850 | 0,999 | 3,090 |
| 0,69 | 0,4959 | 0,89 | 1,2370 |
Приложение Г
Значения Гамма–функции Г(b) для 1 £ b £ 2
| b | Г(b) | b | Г(b) | b | Г(b) |
| 1,00 | 1,00000 | 1,34 | 0,89221 | 1,68 | 0,90500 |
| 1,01 | 0,99432 | 1,35 | 0,89115 | 1,69 | 0,90678 |
| 1,02 | 0,98884 | 1,36 | 0,89018 | 1,70 | 0,90863 |
| 1,03 | 0,98354 | 1,37 | 0,88931 | 1,71 | 0,91057 |
| 1,04 | 0,97843 | 1,38 | 0,88853 | 1,72 | 0,91256 |
| 1,05 | 0,97350 | 1,39 | 0,88785 | 1,73 | 0,91466 |
| 1,06 | 0,96874 | 1,40 | 0,88726 | 1,74 | 0,91682 |
| 1,07 | 0,96415 | 1,41 | 0,88676 | 1,75 | 0,91906 |
| 1,08 | 0,95972 | 1,42 | 0,88635 | 1,76 | 0,92137 |
| 1,09 | 0,95545 | 1,43 | 0,88603 | 1,77 | 0,92376 |
| 1,10 | 0,95135 | 1,44 | 0,88580 | 1,78 | 0,92622 |
| 1,11 | 0,94737 | 1,45 | 0,88566 | 1,79 | 0,92876 |
| 1,12 | 0,94359 | 1,46 | 0,88560 | 1,80 | 0,93138 |
| 1,13 | 0,93993 | 1,47 | 0,88563 | 1,81 | 0,93407 |
| 1,14 | 0,93641 | 1,48 | 0,88574 | 1,82 | 0,93684 |
| 1,15 | 0,93304 | 1,49 | 0,88594 | 1,83 | 0,93969 |
| 1,16 | 0,92980 | 1,50 | 0,88622 | 1,84 | 0,94261 |
| 1,17 | 0,92669 | 1,51 | 0,88659 | 1,85 | 0,94561 |
| 1,18 | 0,92372 | 1,52 | 0,88703 | 1,86 | 0,94868 |
| 1,19 | 0,92088 | 1,53 | 0,88756 | 1,87 | 0,95184 |
| 1,20 | 0,91816 | 1,54 | 0,88817 | 1,88 | 0,95507 |
| 1,21 | 0,91557 | 1,55 | 0,88880 | 1,89 | 0,95837 |
| 1,22 | 0,91310 | 1,56 | 0,88963 | 1,90 | 0,96176 |
| 1,23 | 0,91075 | 1,57 | 0,89048 | 1,91 | 0,96523 |
| 1,24 | 0,90852 | 1,58 | 0,89141 | 1,92 | 0,96877 |
| 1,25 | 0,90640 | 1,59 | 0,89242 | 1,93 | 0,97239 |
| 1,26 | 0,90439 | 1,60 | 0,89351 | 1,94 | 0,97609 |
| 1,27 | 0,90250 | 1,61 | 0,89468 | 1,95 | 0,97988 |
| 1,28 | 0,90071 | 1,62 | 0,89592 | 1,96 | 0,98374 |
| 1,29 | 0,89904 | 1,63 | 0.89724 | 1,97 | 0,98768 |
| 1,30 | 0,89747 | 1,64 | 0,89864 | 1,98 | 0,99170 |
| 1,31 | 0,89600 | 1,65 | 0,90011 | 1,99 | 0,99581 |
| 1,32 | 0,89464 | 1,66 | 0,90166 | 2,00 | 1,00000 |
| 1,33 | 0,89337 | 1,67 | 0,90329 |
Примечание. 1) При b < 1 
|
|
|
2) При b > 2 
Приложение Д
Квантиль tq распределения Стьюдента
| M | tq при q | |||
| 0.7 | 0.8 | 0.9 | 0.95 | |
| 0.727 | 1.376 | 3.078 | 6.314 | |
| 0.617 | 1.061 | 1.886 | 2.920 | |
| 0.584 | 0.978 | 1.638 | 2.353 | |
| 0.569 | 0.941 | 1.533 | 2.132 | |
| 0.559 | 0.920 | 1.476 | 2.015 | |
| 0.553 | 0.906 | 1.440 | 1.943 | |
| 0.549 | 0.896 | 1.415 | 1.895 | |
| 0.546 | 0.889 | 1.397 | 1.860 | |
| 0.543 | 0.883 | 1.383 | 1.833 | |
| 0.542 | 0.879 | 1.372 | 1.812 | |
| 0.540 | 0.876 | 1.363 | 1.796 | |
| 0.539 | 0.873 | 1.356 | 1.782 | |
| 0.538 | 0.870 | 1.350 | 1.771 | |
| 0.537 | 0.868 | 1.345 | 1.761 | |
| 0.536 | 0.866 | 1.341 | 1.753 | |
| 0.535 | 0.865 | 1.337 | 1.746 | |
| 0.534 | 0.863 | 1.333 | 1.740 | |
| 0.534 | 0.862 | 1.330 | 1.734 | |
| 0.533 | 0.861 | 1.328 | 1.729 | |
| 0.533 | 0.860 | 1.325 | 1.725 | |
| 0.532 | 0.859 | 1.323 | 1.721 | |
| 0.532 | 0.858 | 1.321 | 1.717 | |
| 0.532 | 0.858 | 1.319 | 1.714 | |
| 0.531 | 0.857 | 1.318 | 1.711 | |
| 0.531 | 0.856 | 1.316 | 1.708 | |
| 0.531 | 0.856 | 1.315 | 1.706 | |
| 0.531 | 0.855 | 1.314 | 1.703 | |
| 0.530 | 0.855 | 1.313 | 1.701 | |
| 0.530 | 0.854 | 1.311 | 1.699 | |
| 0.530 | 0.854 | 1.310 | 1.697 | |
| 0.529 | 0.851 | 1.303 | 1.684 | |
| 0.527 | 0.848 | 1.296 | 1.671 | |
| 0.526 | 0.845 | 1.289 | 1.658 |
Приложение Е
Значения критерия 
в зависимости от числа степеней свободы f и доверительной вероятности q
| f | Значения критерия для доверительной вероятности q
| ||||||||
| 0,99 | 0,95 | 0,9 | 0,7 | 0,5 | 0,3 | 0,1 | 0,05 | 0,01 | |
| 0,00 | 0,00 | 0,02 | 0,15 | 0,45 | 1,07 | 2,71 | 3,84 | 6,64 | |
| 0,02 | 0,10 | 0,21 | 0,71 | 1,39 | 2,41 | 4,60 | 5,99 | 9,21 | |
| 0,11 | 0,35 | 0,58 | 1,42 | 2,37 | 3,66 | 6,25 | 7,82 | 11,34 | |
| 0,30 | 0,71 | 1,06 | 2,20 | 3,36 | 4,88 | 7,78 | 9,49 | 13,28 | |
| 0,87 | 1,63 | 2,20 | 3,83 | 5,35 | 7,23 | 10,64 | 12,59 | 16,81 | |
| 1,65 | 2,73 | 3,49 | 5,53 | 7,34 | 9,52 | 13,36 | 15,51 | 20,10 | |
| 2,56 | 3,94 | 4,86 | 7,27 | 9,34 | 11,78 | 15,99 | 18,31 | 23,20 | |
| 3,57 | 5,23 | 6,30 | 9,03 | 11,34 | 14,01 | 18,55 | 21,00 | 26,20 | |
| 4,66 | 6,57 | 7,79 | 10,82 | 13,34 | 16,22 | 21,10 | 23,70 | 29,10 | |
| 5,81 | 7,96 | 9,91 | 12,62 | 15,34 | 18,42 | 23,50 | 26,30 | 32,00 | |
| 7,02 | 9,39 | 10,86 | 14,44 | 17,34 | 20,60 | 26,00 | 28,90 | 34,80 | |
| 8,26 | 12,44 | 16,27 | 19,34 | 22,80 | 28,40 | 31,40 | 37,60 | ||
| 11,52 | 14,61 | 16,47 | 20,90 | 24,30 | 28,20 | 34,40 | 37,70 | 44,30 | |
| 14,95 | 18,49 | 20,60 | 25,50 | 29,30 | 33,50 | 40,30 | 43,80 | 50,90 |
Приложение Ж
Значения критерия Фишера Fa для различных степеней свободы большей f 1 = n 1–1 и меньшей f 2 = n 2–1 дисперсий при двух уровнях значимости: α = 0,05 (верхние значения) и α = 0,01 (нижние значения)
| f 2 | f 1 | ||||||||||
| µ | |||||||||||
| α = 0,05 | |||||||||||
| 18,5 | 19,0 | 19,1 | 19,2 | 19,3 | 19,3 | 19,4 | 19,4 | 19,5 | 19,5 | 19,5 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,89 | 8,79 | 8,66 | 8,58 | 8,55 | 8,53 | |
| 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,09 | 5,96 | 5,80 | 5,70 | 5,66 | 5,63 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,88 | 4,74 | 4,56 | 4,44 | 4,41 | 4,36 | |
| 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,79 | 3,64 | 3,44 | 3,37 | 3,32 | 3,23 | |
| 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,14 | 2,98 | 2,77 | 2,64 | 2,59 | 2,54 | |
| 4,35 | 3,49 | 3,10 | 2,87 | 2,71 | 2,51 | 2,35 | 2,12 | 1,97 | 1,91 | 1,84 | |
| 4,03 | 3,18 | 2,79 | 2,56 | 2,40 | 2,20 | 2,03 | 1,78 | 1,60 | 1,52 | 1,44 | |
| 3,94 | 3,09 | 2,70 | 2,46 | 2,31 | 2,10 | 1,93 | 1,68 | 1,48 | 1,39 | 1,28 | |
| µ | 3,84 | 3,00 | 2,60 | 2,37 | 2,21 | 2,01 | 1,83 | 1,57 | 1,35 | 1,25 | 1,00 |
| α = 0,01 | |||||||||||
| 98,5 | 99,0 | 99,1 | 99,2 | 99,3 | 99,4 | 99,4 | 99,4 | 99,5 | 99,5 | 99,5 | |
| 34,1 | 30,8 | 29,5 | 28,7 | 28,2 | 27,6 | 27,3 | 26,7 | 26,3 | 26,2 | 26,1 | |
| 21,2 | 18,0 | 16,7 | 16,0 | 15,5 | 15,0 | 14,5 | 14,0 | 13,7 | 13,6 | 13,4 | |
| 16,2 | 13,3 | 12,1 | 11,4 | 11,0 | 10,4 | 10,0 | 9,55 | 9,24 | 9,13 | 9,02 | |
| 12,2 | 9,55 | 8,45 | 7,85 | 7,49 | 7,00 | 6,62 | 6,16 | 6,07 | 5,75 | 5,63 | |
| 10,0 | 7,56 | 6,55 | 5,99 | 5,64 | 5,20 | 4,85 | 4,41 | 4,12 | 4,01 | 3,91 | |
| 8,10 | 5,85 | 4,94 | 4,43 | 4,10 | 3,70 | 3,37 | 2,94 | 2,64 | 2,54 | 2,42 | |
| 7,17 | 5,06 | 4,20 | 3,72 | 3,41 | 3,02 | 2,70 | 2,26 | 1,95 | 1,82 | 1,68 | |
| 6,90 | 4,82 | 3,98 | 3,51 | 3,21 | 2,82 | 2,50 | 2,06 | 1,73 | 1,60 | 1,43 | |
| µ | 6,63 | 4,61 | 3,78 | 3,32 | 3,02 | 2,64 | 2,32 | 1,88 | 1,52 | 1,35 | 1,00 |
Приложение З
Значения v и w для оценки грубых ошибок в зависимости от объема выборки n и уровня значимости a
| n | v | w | n | v | w | ||
| a = 0,05 | a = 0,01 | a = 0,05 | a = 0,05 | a = 0,01 | a = 0,05 | ||
| 1,41 | 0,988 | 0,941 | 2,29 | 0,527 | 0,412 | ||
| 1,69 | 0,899 | 0,765 | 2,39 | 0,482 | 0,376 | ||
| 1,87 | 0,780 | 0,642 | 2,49 | 0,438 | 0,338 | ||
| 2,00 | 0,698 | 0,560 | 2,62 | 0,391 | 0,300 | ||
| 2,09 | 0,637 | 0,507 | 2,70 | 0,367 | 0,281 | ||
| 2,17 | 0,590 | 0,468 | 2,78 | 0,241 | 0,260 | ||
| 2,24 | 0,555 | 0,437 |
